Question

Cosx=cos4x решить уравнение 

Answer 1

cosx=cos4x

cosx-cos4x=0

-2sin(x+4x)/2*sin(x-4x)/2=0

2sin(5x/2)*sin(3x/2)=0

sin(5x/2)=0   либо sin(3x/2)=0

5x/2=pik                         3x/2=pik

x=2pik/5, k∈Z                  x=2pik/3, k∈Z       

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам понадобится использовать тригонометрическую тождество двойного угла для косинуса:

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Уравнение cos(x) = cos(4x) может быть переписано с использованием этого тождества:

cos(4x) = 2cos²(2x) - 1

Теперь заменим 2x на θ:

cos(4x) = 2cos²(θ) - 1

Теперь у нас есть уравнение в одной переменной θ. Мы можем решить его следующим образом:

2cos²(θ) - 1 = cos(4x)

2cos²(θ) - cos(4x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение вида ac² + bc + c = 0, где a = 2, b = -1 и c = -1. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b² - 4ac

D = (-1)² - 4 * 2 * (-1)

D = 1 + 8

D = 9

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня:

cos(θ) = (-b ± √D) / (2a)

cos(θ) = (1 ± √9) / 4

cos(θ) = (1 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(θ):

1. cos(θ) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1

2. cos(θ) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти значения θ:

1. θ = arccos(1) = 0

2. θ = arccos(-1/2) ≈ 120°

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать следующие соотношения:

2x = θ

x = θ/2

Таким образом, получаем значения x:

1. x = 0/2 = 0

2. x = 120°/2 ≈ 60°

Итак, уравнение cos(x) = cos(4x) имеет два решения: x = 0 и x ≈ 60°.