Question

Найти общее решение y''- 4y' + 5y=0

Answer 1

Ответ:

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx

Пошаговое объяснение:

y''- 4y' + 5y=0 - линейное однородное уравнение 2-порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения составим характеристическое уравнение:

λ²-4·λ+5=0 - квадратное уравнение.

D=(-4)²-4·1·5=16-20= -4 = (2·$i$)²

λ₁=(4-2·$i$)/2=2-$i$, λ₁=(4+2·$i$)/2=2+$i$ - комплексные корни.

Тогда корню λ₁=2-$i$ соответствуют линейно независимые функции

e²ˣ·sinx и e²ˣ·cosx, каждое из которых является решением заданного уравнения. Поэтому общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx,

где C₁ и C₂ произвольные постоянные.

Answer 2

Дифференциальное уравнение второго порядка y'' - 4y' + 5y = 0 является уравнением с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения, мы предполагаем решение в виде y = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставляя это предположение в уравнение, получаем характеристическое уравнение:

r^2 - 4r + 5 = 0.

Это квадратное уравнение имеет комплексные корни:

r1 = 2 + i, r2 = 2 - i.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = c1 * e^((2 + i)t) + c2 * e^((2 - i)t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.