Question

В треугольнике из угла величиной 105° проведена высота длиной 7. Один из острых углов треугольника равен 45°. Найдите длину большей стороны треугольника.

Answer 1

Дано:

∠ABC=105°;

BD⊥AC; BD=7;

∠BAC=45°

Найти: большую сторону треугольника ABC

Решение:

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла. Так как тупой угол в треугольнике является наибольшим, то большая сторона треугольника лежит против угла ABC. Таким образом, нужно найти сторону АС.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол ∠ACB:

$\mathrm{\angle ACB=180^\circ-\angle ABC-\angle BAC}$

$\mathrm{\angle ACB=180^\circ-105^\circ-45^\circ=30^\circ}$

Рассмотрим треугольник BCD. Так как BD - высота, то треугольник BCD прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы:

$\mathrm{BD=\dfrac{1}{2}\, BC}$

$\mathrm{BC=2\,BD}$

$\mathrm{BC=2\cdot7=14}$

Далее, используя теорему Пифагора, определим сторону DC:

$\mathrm{BD^2+DC^2=BC^2}$

$\mathrm{DC=\sqrt{BC^2-BD^2} }$

$\mathrm{DC=\sqrt{14^2-7^2} =\sqrt{147}=7\sqrt{3} }$

Рассмотрим треугольник ABD. Он также является прямоугольным. Кроме того, так как угол BAD равен 45°, то и угол ABD также равен 45°. Значит, этот треугольник равнобедренный. Тогда:

$\mathrm{AD=BD}$

$\mathrm{AD=7}$

Найдем требуемую длину как сумму длин двух отрезков:

$\mathrm{AC=AD+DC}$

$\mathrm{AC=7+7\sqrt{3} }$

Ответ: $7+7\sqrt{3}$

Answer 2

Давайте решим эту задачу с использованием теоремы синусов.

В данном треугольнике у нас есть следующая информация:

Угол A = 105° (угол при большей стороне треугольника) Угол B = 45° (один из острых углов треугольника) Высота h = 7

Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB - большая сторона BC - сторона, противолежащая углу A AC - сторона, противолежащая углу B

Теперь мы можем использовать теорему синусов:

AB/sin(A) = BC/sin(B)

Мы хотим найти длину AB, поэтому перепишем уравнение:

AB = (BC * sin(A)) / sin(B)

Мы знаем, что угол B = 45°, поэтому sin(B) = sin(45°) = sqrt(2)/2.

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение:

AB = (BC * sin(105°)) / (sqrt(2)/2)

Чтобы найти BC, мы можем использовать теорему Пифагора, так как треугольник прямоугольный (угол B = 90°).

BC^2 + h^2 = AC^2

BC^2 + 7^2 = AB^2

BC^2 = AB^2 - 7^2

Теперь мы можем заменить BC^2 в уравнении для AB:

AB = (sqrt(AB^2 - 49) * sin(105°)) / (sqrt(2)/2)

Таким образом, мы получаем уравнение, в котором нужно найти значение AB. Однако, для его точного решения требуется использовать тригонометрические вычисления.