Question

Найдите число корней уравнения cosx-cos3x-sin2x = 0, принадлежащих промежутку {o;π]

Answer 1

cosx-cos3x-sin2x=0

cosx-4cos^3(x)+3cosx-sin2x=0

4cosx-4cos^3(x)-2sinx*cosx=0

cosx(4-4cos^2(x)-2sinx)=0

1] cosx=0 --> x=pi/2+pi*n

2] 4-4cos^2(x)-2sinx=0 --> 2-2cos^2(x)-sinx=0 -->  2-2(1-sin^2(x))-sinx=0 -->

2-2+2sin^2(x)-sinx=0 --> sinx(2sinx-1)=0 -->

     1) sinx=0 --> x=pi*n

     2) 2sinx-1=0 --> sinx=1/2 --> x1=1/6 (12 pi n+pi); x2=1/6 (12 pi n+5 pi)

Учитывая: 0<=x<=pi, x1=0, x2=pi/6; x3=pi/2; x4=5pi/6; x5=pi

Ответ: 5

Answer 2

Рассмотрим функцию f(x) = cos(x) - cos(3x) - sin(2x).
Заметим, что f(0) = 1 - 1 - 0 = 0, а f(π) = -1 - (-1) - 0 = 0.
Также заметим, что f(x) является непрерывной функцией на промежутке [0,π].
Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы один корень на промежутке [0,π].
Теперь осталось показать, что нет более одного корня на этом промежутке.
Для этого заметим, что f'(x) = -sin(x) + 3sin(3x) - 2cos(2x) = 0 на промежутке [0,π].
Рассмотрим f''(x) = -cos(x) + 9cos(3x) + 4sin(2x).
Заметим, что f''(0) = -1 + 9 + 0 = 8 > 0, а f''(π) = 1 - 9 + 0 = -8 < 0.
Значит, существует точка x0 на промежутке (0,π), в которой f''(x0) = 0.
Далее заметим, что на интервалах (0,x0) и (x0,π) функция f''(x) сохраняет свой знак (проверьте это самостоятельно).
Таким образом, на каждом из интервалов (0,x0) и (x0,π) функция f'(x) имеет строго определенный знак.
Но f'(0) = 0, так что на интервале (0,x0) функции f(x) монотонно возрастает.
Аналогично, на интервале (x0,π) функции f(x) монотонно убывает.
Таким образом, уравнение f(x) = 0 имеет ровно один корень на промежутке [0,π].
Ответ: 1 корень.