Question

Известно, что синус альфа плюс косинус альфа равно 1/2. Найти : синус куб альфа плюс косинус куб альфа Пожалуйста помогите

Answer 1

sin³α + cos³α = (sinα+cosα)(sin²α-sinα*cosα+cos²α) = 
= 1/2 *( 1-sinαcosα).
Для определения произведения синуса и сосинуса возведем в квадрас их сумму.
(sinα+cosα)² = sin²α+2sinα*cosα + cos²α = 1+ 2sinα*cosα.
1/4 = 1 + 2sinα*cosα.⇒sinα*cosα = -3/8.
Вычисляем ответ: 1/2*(1+3/8) = 11/16.

Answer 2

Используя формулу куба суммы, можно записать:

(sin alpha + cos alpha)^3 = 1/2^3 = 1/8

sin^3 alpha + 3 sin^2 alpha cos alpha + 3 sin alpha cos^2 alpha + cos^3 alpha = 1/8

Теперь можно выразить sin^3 alpha + cos^3 alpha через (sin alpha + cos alpha)^3 и 3 sin alpha cos alpha через sin 2 alpha:

sin^3 alpha + cos^3 alpha = (sin alpha + cos alpha)(1 - 3 sin alpha cos alpha)
sin 2 alpha = 2 sin alpha cos alpha

Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получаем:

(sin alpha + cos alpha)(1 - 3 sin alpha cos alpha) + 3 sin 2 alpha (sin alpha + cos alpha) = 1/8

Упрощая и сокращая на (sin alpha + cos alpha), получаем:

1 - 3 sin alpha cos alpha + 3 sin 2 alpha = 1/8

Переносим все слагаемые налево и домножаем на 8:

8 - 24 sin alpha cos alpha + 24 sin 2 alpha = 1

Подставляем sin 2 alpha = 2 sin alpha cos alpha:

8 - 24 sin alpha cos alpha + 48 sin alpha cos alpha = 1

Решая это уравнение, получаем:

24 sin alpha cos alpha = 7

sin alpha cos alpha = 7/24

Теперь можно выразить sin^3 alpha + cos^3 alpha:

sin^3 alpha + cos^3 alpha = (sin alpha + cos alpha)(1 - 3 sin alpha cos alpha)
sin^3 alpha + cos^3 alpha = (sin alpha + cos alpha)(1 - 3 * 7/24)
sin^3 alpha + cos^3 alpha = (sin alpha + cos alpha)(17/24)

Осталось выразить sin alpha + cos alpha через кубы:

(sin alpha + cos alpha)^3 = sin^3 alpha + cos^3 alpha + 3 sin alpha cos alpha (sin alpha + cos alpha)

Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно sin alpha + cos alpha:

(sin alpha + cos alpha)^3 = (sin alpha + cos alpha)(17/24) + 3 * 7/24 (sin alpha + cos alpha)
(sin alpha + cos alpha)^3 = (17/24 + 7/8) (sin alpha + cos alpha)
(sin alpha + cos alpha)^3 = 31/24 (sin alpha + cos alpha)

(sin alpha + cos alpha) ( (sin alpha + cos alpha)^2 - 31/24 ) = 0

(sin alpha + cos alpha) ( sin^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha + cos^2 alpha - 31/24 ) = 0

(sin alpha + cos alpha) ( 2 - 31/24 ) = 0

(sin alpha + cos alpha) ( 17/24 ) = 0

Таким образом, sin alpha + cos alpha равно 0 или 17/24. Но по условию дано, что sin alpha + cos alpha = 1/2, поэтому только второй вариант возможен:

sin alpha + cos alpha = 17/24

Теперь можно найти sin^3 alpha + cos^3 alpha:

sin^3 alpha + cos^3 alpha = (sin alpha + cos alpha)(17/24)
sin^3 alpha + cos^3 alpha = 17/24 * 17/24
sin^3 alpha + cos^3 alpha = 289/576

Таким образом, sin^3 alpha + cos^3 alpha равно 289/576.