Question

Решите систему уравнений методом замены переменной: {xy + 2*(x - y) = 10 {5xy - 3*(x - y) = 11

Answer 1

Замена
х-у=u
x·y = v
Система примет вид:

Выразим из первого уравнения v=10-2u   и подставим во второе уравнение:
5(10-2u)-3u=11,
50-10u-3u=11,
-13u=11-50
-13u=-39
u=-39:(-13)
u=3
v=10-2u=10-2·3=10-6=4
Возвращаемся к переменным х и у:

Выразим  из первого уравнения y=x-3   и подставим во второе уравнение:
х(х-3)=4
х²-3х-4=0
D=9-4·(-4)=9+16=25=5²
x₁=(3-5)/2=-1          или    х₂=(3+5)/2=4
тогда
у₁=х₁-3=-1-3=-4      или    у₂=х₂-3=4-3=1
Ответ. (-1;-4) ; (4;1)

Answer 2

В первом уравнении выразим y через x: xy + 2x - 2y = 10 => y = (xy + 2x - 10) / 2
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
5x((xy + 2x - 10) / 2) - 3(x - ((xy + 2x - 10) / 2)) = 11
5xy + 10x - 25 - 3x + (3/2)xy + 3x - 15 = 11
(11/2)xy - 2x = 51
xy = (51 + 2x) / (11/2)
Подставим выражение для y в первое уравнение: x((51 + 2x) / (11/2)) + 2x - ((51 + 2x) / 2) = 10
27x + 4x^2 - 51 = 0
4x^2 + 27x - 51 = 0
Решив квадратное уравнение, получим два корня: x = 3/4 и x = -51/4
Первый корень:
y = (xy + 2x - 10) / 2 = ((3/4)*y + 3/2) / 2 => y = -1/6
Ответ: x = 3/4, y = -1/6
Второй корень:
y = (xy + 2x - 10) / 2 = ((-51/4)*y - 51/2) / 2 => y = -23/31
Ответ: x = -51/4, y = -23/31