Question

C1. а) Решите уравнение sin3x=4sinxcos2x        б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0;3π/2)

Answer 1

 sin3x = 4sinx*cos2x
3sinx - 4sin³x = 4sinx*cos²x - 4sinx*sin²x 
3sinx - 4sin³x = 4sinx*cos²x - 4sin³x
3sinx = 4sinxcos²x
4sinx*cos²x - 3sinx = 0
sinx*(4cos²x - 3) = 0
1.  sinx = 0
      x = Pi*n, n∈Z
2.  4cos²x - 3 = 0
     4cos²x = 3
     cos²x = 3/4
1) cosx = (√3)/2
x = ±Pi/6+2*Pi*n, n∈Z
2) cosx = -(√3)/2
x = ±5Pi/6 + 2Pi*n, n∈Z



Ûßö...=)

Answer 2

а) Применим формулу для произведения синуса и косинуса: sin2αcosβ = (sin(α+β)+sin(α-β))/2. Тогда:

sin3x = 4sinx(cosx+cos3x)/2 = 2sinx(cosx+cos3x)

Перепишем уравнение с использованием формулы для косинуса тройного угла: cos3x = 4cos^3x-3cosx. Тогда:

sin3x = 2sinx(cosx+4cos^3x-3cosx) = 2sinx(4cos^3x+cosx) = 8sinxcos^3x+2sinxcosx

Получается уравнение: 8sinxcos^3x+2sinxcosx-4sinxcos^2x = 0. Разделим его на cos^3x и заменим cosx на t:

8t^3+2t-4t^2 = 0

2t(4t^2-1)+8t^3 = 0

2t(2t-1)(4t+1) = 0

Таким образом, t может быть равно 0,5, 0, или -0,25 (но это не возможно, так как cosx находится в промежутке [-1;1]). Значит, cosx = 1/2 или cosx = 0.

б) Найдем соответствующие значения x, используя промежуток (0;3π/2):

1) cosx = 1/2. В этом случае x может быть равен π/3 или 5π/3.

2) cosx = 0. В этом случае x равен π/2.

Ответ: корни уравнения sin3x=4sinxcos2x, принадлежащие промежутку (0;3π/2), равны π/3, 5π/3 и π/2.