Question

периметр прямоугольного треугольника 24 см. Гипотенуза больше одного из катетов на 4 см. Найдите длину меньшего катета. Заранее спасибо)

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

a; b - катеты, см.

(a+4) - гипотенуза, см.

Система уравнений:

a+b+(a+4)=24; 2a+b=24-4; 2a+b=20; b=20-2a

a²+b²=(a+4)²; a²+b²=a²+8a+16; b²=8a+16

(20-2a)²=8a+16

400-80a+4a²=8a+16                   |4

a²-20a+100-2a-4=0

a²-22a+96=0; D=484-384=100

a₁=(22-10)/2=12/2=6 см; b₁=20-2·6=20-12=8 см

a₂=(22+10)/2=32/2=16 см; b₂=20-2·16=20-32=-12 - ответ не подходит по смыслу.

Следовательно, a=6 см - меньший катет прямоугольного треугольника.

Answer 2

Обозначим меньший катет через $x$ и больший катет через $y$. Тогда по теореме Пифагора имеем:
$$x^2+(y+4)^2=h^2,$$
где $h$ - длина гипотенузы. Периметр равен:
$$x+y+h=24.$$
Разрешим систему уравнений относительно $x$ и $y$:
$$\begin{cases}
x^2+(y+4)^2=h^2, \\
x+y+h=24.
\end{cases}$$
Выражаем $h$ из второго уравнения: $h=24-x-y$. Подставляем в первое уравнение и раскрываем скобки:
$$x^2+y^2+8y+16=576-48x-48y+ x^2+y^2.$$
Упрощаем: $8y+48x=560$. Из второго уравнения выражаем $y$: $y=24-x-h$. Подставляем $h=24-x-y$:
$$y=x-8.$$
Из уравнения $8y+48x=560$ находим $x$:
$$x=6,$$
$$y=x-8=-2.$$
Ответ: длина меньшего катета равна $\boxed{6 \text{ см}}$.