Question

Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 51.

Answer 1

Ответ:

либо a = 26 и b=25; либо a=10 и b=7

Объяснение:

Пусть наши числа - a и b.
Тогда a^2 - b^2 = 51
(a-b)(a+b) = 51
Понятно, что a+b - натуральное число, a-b - тоже натуральное число (оно не может быть отрицательным, т.к. произведение было бы отрицательным).
А теперь переберем все способы представить 51 в виде произведения: это либо 1*51, либо 3*17.
Значит, либо (a-b) =1 и (a+b) = 51; либо (a-b)=3 и (a+b) = 17.
Решаем соответствующие системки:
1.  (a-b) =1 и (a+b) = 51
a = 1 + b И a+b=51
1+b+b=51
2b = 50
b = 25; a = 1 + b = 1 +25 = 26
2. (a-b) = 3 и (a+b) = 17
a = 3+b И a+b = 17
3+b+b=17
2b = 14
b = 7; a = 3+b=3+7=10

Ответ: либо a = 26 и b=25; либо a=10 и b=7

Answer 2

Разность квадратов двух натуральных чисел может быть представлена в виде разности двух чисел, которые могут быть найдены с помощью формулы суммы и разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

По условию задачи:

$$a^2-b^2=51$$

$$a^2=b^2+51$$

$$(a+b)(a-b)=51$$

Заметим, что $a+b$ и $a-b$ должны быть одновременно либо четными, либо нечетными. Вариант, когда одно из них четное, а другое нечетное, не возможен, так как их произведение (равное 51) не имеет целочисленных четных делителей. Если оба множителя четны или нечетны, то можно записать:

$$\begin{cases}a+b=51\\a-b=1\end{cases}$$

Решая эту систему уравнений, получаем $a=26$, $b=25$. Проверка показывает, что эти числа действительно подходят:

$$a^2-b^2=26^2-25^2=676-625=51$$

Также можно рассмотреть случай, когда $a+b$ и $a-b$ одновременно нечетные:

$$\begin{cases}a+b=17\\a-b=3\end{cases}$$

Решением этой системы являются $a=10$, $b=7$. Проверка показывает, что и эти числа удовлетворяют условию задачи:

$$a^2-b^2=10^2-7^2=100-49=51$$

Таким образом, все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 51, это $(a,b)=(26,25)$ и $(a,b)=(10,7)$.