Question

По течению реки катер прошел 70км ,а  против течения - 35км , причем на путь по течению он затратил на  ч больше ,чем на путь против течения . Какова собственная скорость катера , если скорость реки 2 км/ч ?

Answer 1

х (км/ч) - собственная скорость катера
(х + 2) (км/ч) - скорость катера по течению реки
(х - 2) (км/ч) - скорость катера против течения реки
70/(х + 2) (ч) - времени шел катер по течению реки
35/(х - 2) (ч) - времени шел катер против течения реки
На путь по течению катер затратил на  ч больше ,чем на путь против течения, с.у.

   70      -         35      =      1,5
  х + 2            х - 2
70 ( х - 2) - 35 (х + 2) - 1,5 (х² - 4) = 0 
Решаем кв.ур
3х² - 70х + 408 = 0
 а = 3;  b = -70; c = 408
 D = b² - 4ac = (-70)² - 4 * 3 * 408 = 4900 - 4896 = 4

x1 = - b  + √D    =  - ( - 70) + √4    =    70 +  2   = 12  (км/ч) - собственная скорость катера
             2a                   2 * 3                     6

x2 = - b  - √D = - ( - 70) - √4    =    70 -  2   = 11 1/3  (км/ч) - собственная скорость катера
             2a               2 * 3                      6

Answer 2

Пусть скорость катера в стоячей воде равна x км/ч. Тогда скорость катера по течению составляет (x + 2) км/ч, а против течения – (x – 2) км/ч.
Обозначим время, за которое катер прошел 70 км по течению за t1, а время, за которое он прошел 35 км против течения – за t2.
Тогда получаем систему уравнений:
70 = (x + 2) * t1
35 = (x – 2) * t2
t1 = t2 + ч
где ч – некоторое количество времени, затраченное на движение по течению больше, чем против течения.
Выразим t1 и t2 через чел и подставим в уравнения:
(x + 2) * (t2 + ч) = 70
(x – 2) * t2 = 35
Раскроем скобки и преобразуем:
xt2 + 2t2 + xч + 2ч = 70
xt2 – 2t2 = 35
Выразим x из второго уравнения и подставим в первое:
x = 35 / t2 + 2
(35 / t2 + 2)t2 + 2t2 + (35 / t2 + 2)ч + 2ч = 70
35 + 2t2(t2 + ч) = (t2 + 2)(t2 + ч) * 2
35 + 2t2² + 2t2ч = 2t2² + 4t2 + 2чt2 + 2ч
2t2² – 2t2 – 35 = -2t2ч – 2ч
2t2² – 2t2 – 35 + 2t2ч + 2ч = 0
2t2² + (2ч – 2)t2 – (35 – 2ч) = 0
Решив квадратное уравнение относительно t2, получим:
t2 = (-2ч + 2 ± √(4ч² – 4(35 – 2ч) * 2)) / 4
t2 = (-ч + 1 ± √(9 + 2ч)) / 2
Так как время не может быть отрицательным, то выбираем положительный знак:
t2 = (-ч + 1 + √(9 + 2ч)) / 2
Теперь можем выразить x из уравнения x = 35 / t2 + 2:
x = 35 / ((-ч + 1 + √(9 + 2ч)) / 2) + 2
x = 70 / (-ч + 1 + √(9 + 2ч)) + 2
Заметим, что x должна быть положительной. Поэтому дискриминант под корнем должен быть больше или равен нулю:
9 + 2ч ≥ 0
ч ≥ -4.5
Таким образом, собственная скорость катера равна x = 70 / (-ч + 1 + √(9 + 2ч)) + 2 при ч ≥ -4.5.
Ответ: собственная скорость катера равна 10 км/ч.