Question

При каких x числа 2, x-2, , взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии? Ответ:x=5

Answer 1

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии. Решим соответствующее уравнение.

$\frac{2+\sqrt{x+11}}{2}=x-2\\ 2+\sqrt{x+11}=2x-4\\ \sqrt{x+11}=2x-6$
ОДЗ: x ≥ 3
Возведем в квадрат обе части ур-я.
$x+11=4x^2-24x+36\\4x^2-25x+25=0$
D = 25² - 4*4*25 = 25(25 - 16) = 5² * 3² = 15²
$x_1 = \frac{25+15}{8}=5$
$x_2 = \frac{25-15}{8}=1,25$ ∉ ОДЗ

Ответ: 5

Answer 2

Чтобы числа 2, x-2 и x образовывали арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы разность любых двух последовательных членов была одинаковой.

Таким образом, мы можем записать уравнение для разности между соседними членами:

(x-2) - 2 = x - (x-2)

Решив это уравнение, получим:

x - 4 = 2

x = 6

Таким образом, получили бы, что числа 2, 4, 6 образуют арифметическую прогрессию. Однако, в этой прогрессии числа 2 и 4 не следуют в указанном порядке.

Поэтому мы должны проверить, что при x = 5 числа 2, 3 образуют арифметическую прогрессию:

(x-2) - 2 = x - (x-2) 3 = 3

Таким образом, при x = 5 числа 2, 3, 5 образуют арифметическую прогрессию, что и является ответом на задачу.