Question

Помогите решить неравенство, пожалуйста: ㏒2x (4x) ≤ √(log2x (16x³))

Answer 1

Ответ: 4x^3.Решение после.

Answer 2

Давайте разберемся с каждой частью неравенства по отдельности.

Сначала рассмотрим левую часть:

㏒2x (4x)

Это логарифм по основанию 2 от 4x, умноженный на 2x. Мы можем упростить это выражение, используя свойство логарифмов:

㏒2x (4x) = 2x * ㏒2x 4 = 2x * 2 = 4x

Теперь рассмотрим правую часть:

√(log2x (16x³))

Это корень квадратный из логарифма по основанию 2 от 16x³. Мы можем также упростить это выражение:

√(log2x (16x³)) = √(3 * log2x (2^4 * x³)) = √(3 * (4 + 3 * log2x x)) = √(12 + 9 * log2x x)

Теперь мы можем записать неравенство в следующем виде:

4x ≤ √(12 + 9 * log2x x)

Возводим обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(4x)² ≤ (12 + 9 * log2x x)

16x² ≤ 12 + 9 * log2x x

9 * log2x x ≥ 16x² - 12

log2x x ≥ (16x² - 12) / 9

Теперь мы можем применить определение логарифма:

x ≥ 2^[(16x² - 12) / 9]

Осталось только решить полученное неравенство. Мы можем использовать численные методы или график функции для этого. Если мы построим график функции y = 2^[(16x² - 12) / 9] и применим теорему о знаке функции, то увидим, что функция положительна для x > 0 и возрастает на этом промежутке. Значит, решением неравенства будет любое положительное число, большее или равное 1.

Таким образом, решением исходного неравенства является множество всех положительных чисел, больших или равных 1:

x ≥ 1.