Question

Добрый день, дамы и господа, я недавно столкнулся с неравенством x^2(x-9) > 0 и x^2(x+3) > 0, но чуть чуть не понял как производить знакочередование на числовой прямой. Почему-то в первом получается - - +, а во втором - ++, с первым и последним всё логично в плане того, что x на промежутке от отрицательного значения бесконечности до нуля - отрицательные числа, в первом плюс, потому что коэффициенты положительные, но вот в центре - не понятно. Простое знакочередования метода интервалов тут не работает, объясните, кому не трудно.

Answer 1

1) x^2(x-9)>0
Помним, что x^2-четная функция, т.е она не может принимать отрицательные значения!!!
если посмотришь график, а что там смотреть начерти его)
Точка x=0 является нулем этой функции, но функция при переходе через нуль знак не меняет.
В итоге мы получаем, нули 9 и 0
Рассмотрим метод интервалов
----   -------------     ++++++++++
----0---------------9----------------
выбираем где + (как видим знак при переходе через четную функцию не меняется)
Ответ: (9;+беск)
Со вторым абсолютно так же.

Answer 2

Для решения неравенства вида $f(x) > 0$, где $f(x)$ - многочлен, можно использовать метод знакочередования на числовой прямой.

Для этого нужно разложить многочлен на множители, а затем проанализировать знак каждого множителя на интервалах между его корнями. Знак многочлена на каждом интервале определяется знаком произведения знаков множителей на этом интервале.

Для первого неравенства $x^2(x-9) > 0$, многочлен можно разложить на множители: $x^2(x-9) = x^2 \cdot (x-9)$. Знаки множителей на интервалах между корнями равны:

• $x^2$ положительный на $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$;
• $(x-9)$ отрицательный на $(-\infty,9)$ и положительный на $(9,+\infty)$.

Следовательно, знак многочлена $x^2(x-9)$ положительный на $(-\infty,0)\cup(9,+\infty)$ и отрицательный на $(0,9)$.

Для второго неравенства $x^2(x+3) > 0$, многочлен можно разложить на множители: $x^2(x+3) = x^2 \cdot (x+3)$. Знаки множителей на интервалах между корнями равны:

• $x^2$ положительный на $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$;
• $(x+3)$ положительный на $(-\infty,-3)$ и отрицательный на $(-3,+\infty)$.

Следовательно, знак многочлена $x^2(x+3)$ положительный на $(-\infty,-3)\cup(0,+\infty)$ и отрицательный на $(-3,0)$.

Надеюсь, это поможет вам лучше понять, как производить знакочередование на числовой прямой для таких неравенств.