Question

Помогите пожалуйста!!!!! Дано sin a+cos a= k,найти: 1)sin³a+cos³a 2)sina-cosa 3)sin⁴a+cos⁴a

Answer 1

$sina+cosa=k\\\\1)\; \; sin^3a+cos^3a=(sina+cosa)(sin^2a-sina\cdot cosa+cos^2a)=\\\\=k\cdot ((\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})-sina\cdot cosa)=k\cdot (1-sina\cdot cosa)\; ;\\\\\star \; \; (sina+cosa)^2=k^2\\\\sin^2a+cos^2a+2sina\cdot cosa=k^2\\\\1+2sina\cdot cosa=k^2\\\\2sina\cdot cosa=k^2-1\\\\sina\cdot cosa=\frac{k^2-1}{2}\; \; \star \\\\sin^3a+cos^3a=k\cdot (1-\frac{k^2-1}{2})=k\cdot \frac{2-k^2+1}{2}=\frac{k\cdot (3-k^2)}{2}\; ;\\\\\\2)\; \; (sina-cosa)^2=\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1}-2sina\cdot c osa=1-2\cdot \frac{k^2-1}{2}=2-k^2$

$sina-cosa=\pm \sqrt{2-k^2}\\\\\\3)\; \; sin^4a+cos^4a=(sin^4a+2sin^2a\cdot cos^2a+cos^4a)-2sin^2a\cdot cos^2a=\\\\=(\underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})^2-2sin^2a\cdot cos^2a=1^2-2\cdot (sina\cdot cosa)^2=\\\\=1-2\cdot \frac{(k^2-1)^2}{4}=1-\frac{(k^2-1)^2}{2}=\frac{2-(k^2-1)^2}{2}=\frac{2-k^4+2k^2-1}{2}=\frac{2k^2-k^4+1}{2}$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать несколько тригонометрических тождеств:

1. sin²a + cos²a = 1 (тождество Пифагора)
2. (sin a + cos a)² = sin²a + 2sin a cos a + cos²a = 1 + 2sin a cos a
3. (sin a - cos a)² = sin²a - 2sin a cos a + cos²a = 1 - 2sin a cos a
4. sin³a + cos³a = (sin a + cos a)(1 - sin a cos a)
5. sin⁴a + cos⁴a = (sin²a + cos²a)² - 2sin²a cos²a = 1 - 2sin²a cos²a

Теперь, используя эти тождества, мы можем решить задачу:

1. sin³a + cos³a = (sin a + cos a)(1 - sin a cos a) = k(1 - sin a cos a)

2. sin a - cos a = (sin a + cos a)(sin²a + cos²a - 2sin a cos a) / (sin a + cos a)² = (1 - 2sin a cos a) / (1 + k) (используем тождество 3 и 2)

3. sin⁴a + cos⁴a = 1 - 2sin²a cos²a = 1 - 2(1 - sin²a)(1 - cos²a) = 2sin²a cos²a - sin²a - cos²a + 1 = (sin²a + cos²a)² - 2sin²a cos²a = 1 - k²

Таким образом, мы получаем следующие ответы:

1. sin³a + cos³a = k(1 - sin a cos a)
2. sin a - cos a = (1 - 2sin a cos a) / (1 + k)
3. sin⁴a + cos⁴a = 1 - k²

Надеюсь, это поможет!