Question

Решите пожалуйста уравнение cos^ 5x=1/4

Answer 1

$\cos^2x= \frac{1}{4} \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos 5x=\frac{1}{2}\\\cos 5x=-\frac{1}{2}\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}5x= \pm\frac{ \pi }{3}+2 \pi n,n \in Z\\5x= \pm\frac{2 \pi }{3}+2 \pi n,n \in Z \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}x= \pm\frac{ \pi }{15}+ \frac{2 \pi n}{5}, n \in Z\\x=\pm \frac{2 \pi }{15} +\frac{2 \pi n}{5}, n \in Z \end{array}\right$

Answer 2

Начнем с возведения косинуса в пятую степень:

cos^5x = (cos^2x)^2 * cosx

Мы знаем, что cos^2x = 1 - sin^2x, поэтому мы можем заменить это в уравнении:

(cos^2x)^2 * cosx = (1 - sin^2x)^2 * cosx = 1/4

Теперь раскроем квадрат в выражении (1 - sin^2x)^2:

(1 - sin^2x)^2 = 1 - 2sin^2x + sin^4x

Подставим это обратно в уравнение:

1/4 = (1 - 2sin^2x + sin^4x) * cosx

Упростим это выражение:

1/4 = cosx - 2sin^2xcosx + sin^4xcosx

Сгруппируем по cosx и sin^2x:

1/4 = cosx - 2cosx(1 - cos^2x) + (1 - cos^2x)^2cosx

1/4 = cosx - 2cosx + 2cos^3x - cos^5x + cos^4x

cos^5x - 2cos^4x + 2cos^3x - 3cos^2x + 4cos - 4 = 0

Это уравнение высокой степени, и мы не можем найти его точное решение аналитически. Мы можем использовать численные методы для приближенного решения этого уравнения.

Например, можно воспользоваться графическим методом и построить график функции y = cos^5x - 1/4 и найти приблизительное значение x, где y = 0.

Можно также использовать численные методы, такие как метод половинного деления, метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти корни этого уравнения. Однако, этот процесс достаточно трудоемкий, и потребует использования специального программного обеспечения для нахождения решений с высокой точностью.