Question

8. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если в4+в7=756, а в5-в6+в7=567

Answer 1

B₄+b₇=756         b₁q³+b₁q⁶=756              b₁q³*(1+q³)=756
b₅-b₆+b₇=567    b₁q⁴-b₁q⁵+b₁q⁶=567    b₁q³*(q-q²+q³)=567
Разделим первое уравнение на второе:
(1+q³)/(q-q²+q³)=4/3
3*(1+q³)=4*(q-q²+q³)
3+3q³=4q³-4q²+4q
q³-4q²+4q-3=0
q³-3q²-q²+4q-3=0
q²*(q-3)-(q²-4q+3)=0
q²*(q-3)-(q²-3q-q+3)=0
q²(q-3)-(q*(q-3)-(q-3)=0
q²(q-3)-(q-3)*(q-1)=0
(q-3)*(q²-q+1)=0
q-3=0
q=3
q²-q+1=0    D=-3  ⇒  Уравнение не имеет действительных корней.   ⇒
q=3
b₁*3³+b₁*3⁶=756
b₁*(27+729)=756
b₁*756=756  |÷756
b₁=1.
Ответ: b₁=1      q=3.

Answer 2

Используем формулы для суммы членов геометрической прогрессии:

v4 + v7 = v4(1 + r^3) = 756 (1)

v5 - v6 + v7 = v4(r + r^2 + r^3) = 567 (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(v5 - v6 + v7) / (v4 + v7) = (r + r^2 + r^3) / (1 + r^3)

Заметим, что r + r^2 + r^3 = r(1 + r + r^2), а также вынесем общий множитель v4 из уравнения (1):

(v5 - v6 + v7) / v4 = (r + r^2 + r^3) / r * (v4 + v7) / v4 / (1 + r^3)

(v5 - v6 + v7) / v4 = (1 + r + r^2) / (1 + r^3) * 756 / v4

(v5 - v6 + v7) / (1 + r + r^2) = (1 + r^3) * 567 / 756

(v5 - v6 + v7) / (1 + r + r^2) = 3/4 * (1 + r^3)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):

1. 756 / (v4 + v7) = 1 + r^3

2. 567 / (v4(r + r^2 + r^3)) = r + r^2 + r^3

Из уравнения (1) получаем:

r^3 = 756 / (v4 + v7) - 1

Подставляем это выражение в уравнение (2):

567 / v4 * (r + r^2 + r^3) = 567 / v4 * (r + r^2 + (756 / (v4 + v7) - 1))

(v5 - v6 + v7) / v4 = 567 / v4 * (r + r^2 + (756 / (v4 + v7) - 1)) * (1 + r + r^2) / (1 + r^3)

(v5 - v6 + v7) / v4 = 567 / v4 * (1 + r + r^2) * (756 / (v4 + v7)) / (1 + r^3)

(v5 - v6 + v7) / (1 + r + r^2) = 567 * 756 / (v4 + v7)^2

Теперь подставляем выражение для (v5 - v6 + v7) / (1 + r + r^2) и решаем квадратное уравнение относительно (v4 + v7)^2:

567 * 756 / (v4 + v7)^2 = 3/4 * (1 + r^3)

(v4 + v7)^2 = 567 * 756 * 4 / 3 / (1 + r^3)

v4 + v7 = ±sqrt(567 * 756 * 4 /