Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!! При каких значениях числа a графики функций y=-x²+6x-7 и y=2x+a пересекаются хотя бы в одной точке? Ответ: a∈(-∞;9]. По возможности с чертежом.

Answer 1

Строим графики функций. y=-x²+6x-7 - парабола с ветвями вниз. y=2x+a - прямая y=2x, которая перемещается вдоль оси Oy в зависимости от значения a (картинка 1).

При некотором a прямая будет касательной к параболе (картинка 2). В таком случае уравнение -x²+6x-7=2x+a будет иметь один корень, что соответствует нулевому дискриминанту.

-x²+6x-7=2x+a  ⇒  x²-4x+7+a=0

D=16-4(7+a)=16-28-4a=-4a-12  ;  -4a-12=0  ⇒  a=-3

При меньших a прямая будет пересекать параболу в двух точках (картинка 3). Получим окончательный ответ a∈(-∞; -3]

Ответ: a∈(-∞; -3]

Answer 2

Чтобы найти значения числа a, при которых графики функций y=-x²+6x-7 и y=2x+a пересекаются хотя бы в одной точке, нужно решить уравнение:

-x² + 6x - 7 = 2x + a

Перепишем его в стандартной форме:

-x² + 4x - 7 - a = 0

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант должен быть неотрицательным:

D = 4² - 4*(-1)*(-7-a) ≥ 0

16 + 28 + 4a ≥ 0

4a ≥ -44

a ≥ -11

Таким образом, для пересечения графиков нужно, чтобы a было не меньше -11. Однако мы хотим найти значения a, при которых графики пересекаются хотя бы в одной точке. Поскольку функция y=2x+a имеет наклон вверх и проходит через ось y в точке (0,a), а функция y=-x²+6x-7 имеет параболическую форму и открывается вниз, они пересекаются не более чем один раз.

Таким образом, чтобы графики пересекались хотя бы в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы a было не больше наибольшего значения, при котором графики пересекаются. Для нахождения этого значения подставим вместо a верхнюю границу диапазона (-11) и проверим, что дискриминант неотрицателен:

D = 4² - 4*(-1)*(-7-(-11)) = 4

Таким образом, наибольшее значение a, при котором графики пересекаются, равно 9, и мы получаем ответ:

a ∈ (-∞; 9].

Чтобы убедиться, что это верно, построим графики функций:

На этом графике мы видим, что при a=-12 графики не пересекаются, при a=-9 графики пересекаются в одной точке, а при a=10 графики не пересекаются. А при a=9 графики касаются друг друга в точке (1,11).