Question

Докажите,что выражение (a+5b)(a+5b-6)+9 принимает неотрицательные значение при любых значениях переменных СРОЧНО

Answer 1

1) берем а=-1 b=0

подставляем в выражение

(-1+5*0)(-1+5*0-6)+9 = (-1+0)*(-1+0-6)+9= -1*(-7)+9= при умножении минус на минус дает плюс 7+9 = 16

при отрицательном а получили неотрицательное значение, переходим ко 2 случаю.

2) берем a=0 b=-1

подставляем в выражение

(0+5*(-1))*(0+5*(-1)-6)+9 = (0-5)*(0-5-6)+9= -5*(-11)+9 = при умножении минус на минус дает плюс 55+9=64

при отрицательном b получили неотрицательное значение, переходим к третьему случаю

3) берем a=-1 b=-1

подставляем => (-1-5)*(-1-5-6)+9 = (-6)*(-12)+9 при умножении минус на минус дает плюс = 72+9=81

при отрицательных a и b получили неотрицательное значение, переходим к третьему случаю

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение (a+5b)(a+5b-6)+9 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных a и b, нужно доказать, что его значение всегда больше либо равно нулю.

Раскроем скобки в данном выражении:

(a+5b)(a+5b-6)+9 = a^2 + 10ab + 25b^2 - 6a + 9

Перепишем данное выражение в следующем виде:

a^2 + 10ab + 25b^2 - 6a + 9 = (a^2 - 2a + 1) + 10ab + 25b^2 + 8a + 1

Заметим, что выражение в скобках является квадратом разности (a-1)^2, которое всегда больше либо равно нулю. Таким образом, мы можем переписать данное выражение следующим образом:

(a-1)^2 + 10ab + 25b^2 + 1

Заметим, что выражение в скобках всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа неотрицательный, а 10ab и 25b^2 также неотрицательны при любых значениях a и b.

Таким образом, мы доказали, что выражение (a+5b)(a+5b-6)+9 всегда принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных a и b.