Question

Докажите,что для всех натуральных n справедлива формула 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(n+1)=n/n+1

Answer 1

1/1·2+1/2·3+1/3·4+...+1/n(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))=

=1-1/(n+1)=n/(n+1) ч.т.д.

(раскроешь скобки  серединка уничтожается)

Answer 2

Мы докажем данное утверждение методом математической индукции.

Для n = 1:

1/1*2 = 1/2 = 1/1+1

Таким образом, базовый случай выполняется.

Теперь предположим, что утверждение верно для n = k, то есть:

1/12 + 1/23 + ... + 1/k(k+1) = k/(k+1)

Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1.

Для этого добавим к сумме слагаемое 1/(k+1)(k+2):

1/12 + 1/23 + ... + 1/k(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = k/(k+1) + 1/(k+1)(k+2)

Мы можем объединить две дроби с общим знаменателем:

(k(k+2) + 1)/(k+1)(k+2) = (k^2 + 2k + 1)/(k+1)(k+2) = (k+1)^2/(k+1)(k+2) = (k+1)/(k+2)

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1.

Исходя из базового случая и принципа математической индукции, мы можем заключить, что данное утверждение верно для всех натуральных n:

1/12 + 1/23 + ... + 1/n(n+1) = n/(n+1)