Question

Доказать,что при любых значениях а верно неравенство. (А-2)(а квадрат+а+4)<а куб. Пожалуйста, очень нужно.

Answer 1

(а-2)(а²+а+4)<a³
 a³ - 2³ < a³
   a³-8 < a³
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, раскроем скобки в левой части неравенства:

(а - 2)(а² + а + 4) = а³ + 2а² - 8а - 8

Теперь подставим это выражение в исходное неравенство:

а³ + 2а² - 8а - 8 < а³

Сократим а³ с обеих сторон:

2а² - 8а - 8 < 0

Разделим обе части на 2:

а² - 4а - 4 < 0

Найдем корни квадратного уравнения:

D = 4² - 4 × 1 × (-4) = 32

а₁,₂ = (4 ± √32) / 2 = 2 ± 2√2

Таким образом, уравнение а² - 4а - 4 = 0 имеет два корня: а₁ = 2 - 2√2 и а₂ = 2 + 2√2. Эти значения разбивают вещественную прямую на три интервала:

(-∞, а₁), (а₁, а₂), (а₂, +∞)

Для каждого из этих интервалов определим знак выражения а² - 4а - 4:

• на интервале (-∞, а₁) выражение отрицательно;
• на интервале (а₁, а₂) выражение положительно;
• на интервале (а₂, +∞) выражение отрицательно.

Таким образом, мы видим, что неравенство а² - 4а - 4 < 0 выполняется на интервале (а₁, а₂), а на остальных интервалах оно не выполняется.

Итак, чтобы доказать, что неравенство (а - 2)(а² + а + 4) < а³ верно при любых значениях а, достаточно показать, что а³ > 0, так как в этом случае неравенство 2а² - 8а - 8 < 0 всегда будет выполняться.

Действительно, если а > 0, то а³ > 0; если а < 0, то а³ < 0; если а = 0, то исходное неравенство становится просто -8 < 0, что также верно.

Таким образом, мы доказали, что (а - 2)(а² + а + 4) < а³ верно при любых значениях а.