Question

Школьный комитет, состоящий из 5 студентов, избирается из 8 мальчиков и 6 девочек. а) сколькими способами можно выбрать членов комитета?в) сколькими способамт можно выбрать членов комитета так, чтобы в нем было не менее 3 мальчиков ?с) найдите вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков.​

Answer 1

a) Выбрать 5 членов комитета из 14 студентов можно $C^5_{14}=\dfrac{14!}{5!9!}=2002$ способами.

б) Выбрать трех мальчиков можно $C^3_{8}=\dfrac{8!}{3!5!}=56$ способами и двух девушек $C^2_6=\dfrac{6!}{2!4!}=15$, по правилу произведения: 56 * 15 = 840. Выбрать четырех мальчиков можно $C^4_{8}=\dfrac{8!}{4!4!}=70$ способами, а одну девушку - $C^1_6=6$ способами. По правилу произведения: 70 * 6 = 420. И наконец, выбрать пятерых мальчиков можно $C^5_8=\dfrac{8!}{5!3!}=56$ способами. Тогда по правилу сложения, всего таких способов: 840 + 420 + 56 = 1316.

в) Вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков:

$P=\dfrac{1316}{2002}=\dfrac{94}{143}$

Answer 2

а) В комитет нужно выбрать 5 студентов из 14. Это можно сделать по формуле сочетаний:

$C_{14}^{5} = \dfrac{14!}{5!9!} = 2002$

Ответ: 2002 способа выбрать членов комитета.

б) Найдем число способов выбрать комитет из трех мальчиков и двух девочек, а затем прибавим число способов выбрать комитет из четырех мальчиков и одной девочки и число способов выбрать комитет из пяти мальчиков (так как в условии требуется не менее трех мальчиков):

$C_{8}^{3} \cdot C_{6}^{2} + C_{8}^{4} \cdot C_{6}^{1} + C_{8}^{5} = 560 + 840 + 56 = 1456$

Ответ: 1456 способов выбрать комитет так, чтобы в нем было не менее 3 мальчиков.

в) Вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков, равна отношению числа способов выбрать комитет с тремя или более мальчиками к общему числу способов выбрать комитет:

$P = \dfrac{C_{8}^{3} \cdot C_{6}^{2} + C_{8}^{4} \cdot C_{6}^{1} + C_{8}^{5}}{C_{14}^{5}} = \dfrac{1456}{2002} \approx 0.727$

Ответ: вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков, примерно равна 0.727.