Question

четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третего членов равна 6. Найти первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

b1q^3-b1q=24

b1q+b1q^2=6

 

b1q^2(q+1)=30

b1q(q+1)=6

 

q=5

b1=6/(5*6)=1/5

 

Answer 2

составим систему уравнений:

b1q+24=b1q^3 и b1q+b1q^2=6

разделив первое уравнение на второе получим q=2, подставив знаменатель в любое из уравнений найдем b1=4

Answer 3

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а ее знаменатель равен q. Тогда второй, третий и четвертый члены будут соответственно равны aq, aq^2 и aq^3.

Из условия задачи известно, что:

• aq^2 - aq = 24 (четвертый член больше второго на 24)
• aq + aq^2 = 6 (сумма второго и третьего членов равна 6)

Решим систему уравнений:

scssCopy code
aq^2 - aq = 24       (1)
aq + aq^2 = 6        (2)

Решим уравнение (2) относительно a:

cssCopy code
a(q + q^2) = 6
a = 6 / (q + q^2)

Подставим полученное выражение для a в уравнение (1):

cssCopy code
(6 / (q + q^2)) * q^2 - (6 / (q + q^2)) * q = 24
6q - 6q^3 = 24(q + q^2)
6q - 6q^3 = 24q + 24q^2
6q^3 + 24q^2 - 18q = 0
2q^2 + 8q - 3 = 0

Решим полученное квадратное уравнение относительно q:

lessCopy code
q = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
q = (-8 ± sqrt(8^2 - 4*2*(-3))) / 4
q = (-8 ± sqrt(88)) / 4
q ≈ -0.2928 или q ≈ 1.0428

Отбросим отрицательное значение q, так как знаменатель геометрической прогрессии должен быть положительным:

cssCopy code
q ≈ 1.0428

Найдем первый член прогрессии a с помощью уравнения (2):

cssCopy code
a = 6 / (q + q^2)
a ≈ 2.308

Итак, первый член геометрической прогрессии составляет примерно 2.308, а ее знаменатель примерно 1.0428.