Question

Докажите, что если 1)a+b+c=0, то a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3=0 2)a^2-b^2=2ab+1, то a^6b^4-2a^5b^5-a^4b^6=a^4b^4 3)a-2b=3, то 2ab^2-a^2b+3ab=0

Answer 1

1) a³b³c²+a²b⁴c²+a²b³c³=a²b³c²(a+b+c)=a²b³c²*0=0
2) a⁶b⁴-2a⁵b⁵-a⁴b⁶=a⁴b⁴(a²-2ab-b²)=a⁴b⁴((a²-b²)-2ab)=a⁴b⁴((2ab+1)-2ab)=a⁴b⁴(1)=a⁴b⁴
3) 2ab²-a²b+3ab=ab(2b-a+3)=ab((2b-a)+3)=ab((-3)+3)=0

Answer 2

1. Рассмотрим выражение a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3

Можно заметить, что его можно переписать следующим образом: abc^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

Из условия задачи, мы знаем, что a+b+c=0, поэтому можно выразить, например, a через b и c: a = -b-c

Тогда выражение выше можно переписать в виде: -abc^2(b^2+2bc+c^2 + b^2+c^2+2bc + b^2+c^2-2bc)

Заметим, что первые два слагаемых в скобках дают (b+c)^2, а вторые два - (b-c)^2. Тогда мы можем преобразовать выражение еще раз и получить: -abc^2((b+c)^2-(b-c)^2) = -4a^2b^2c^2

Таким образом, мы доказали, что a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3 = -4a^2b^2c^2 = 0, если a+b+c=0.

2. Из второго условия мы можем выразить a^2 в виде b^2+2ab+1, тогда a^6b^4-2a^5b^5-a^4b^6 = (b^2+2ab+1)^3b^4 - 2(b^2+2ab+1)^2b^5 - (b^2+2ab+1)b^6

Раскрыв скобки, получим: (b^6+6a^2b^4+12a^3b^3+8a^4b^2+3a^6)b^4 - 2(b^6+4a^2b^5+4a^3b^4+a^4b^3+2a^5b^2+b^6) - (b^8+2a^2b^6+b^4)

Можно заметить, что b^6 во всех слагаемых сокращаются, и остается: 6a^2b^8+12a^3b^7+6a^4b^6-a^4b^4-4a^5b^3-2a^2b^6-b^4

Выражение a^2-b^2=2ab+1 можно переписать в виде (a-b)^2=1, откуда a-b=1 или a-b=-1.

Рассмотрим первый случай (a-b=1). Тогда мы можем выразить a через b: a=b+1. Подставим это выражение в выражение выше и получим: 6b^10+42b^9+108b^8+143b^7+113b^6+52b^5+13b^4=7b^4(b+1)^4(b^2+2