Question

Вася и Петя одновременно выбежали с места старта круговой беговой дорожки и побежали в противоположных направлениях. На бегу в некотором месте дорожки они встретились. Вася пробежал полный круг и продолжая бег в том же направлении добежал до места их прежней встречи в тот момент когда Петя пробежал полный круг. Во сколько раз Вася бежал быстрее Пети?

Answer 1

Ответ: √5+1/2.

Решение: Пусть v - скорость Пети, xv - Скорость Васи, t - время, за которое они добрались до места встречи. Получаем уравнение: (1+x)vt/xv=xvt/v, откуда x^2=1+x, x=√5+1/2.

Answer 2

Пусть длина беговой дорожки равна $d$, а скорость Васи и Пети соответственно обозначаются $v_1$ и $v_2$. При встрече они вместе пробегут расстояние $d$, то есть время до встречи равно $t=\frac{d}{v_1+v_2}$.

За время $t$ Петя пробежит половину дистанции, то есть расстояние $d/2$, а Вася, двигаясь со скоростью $v_1$, пробежит расстояние $v_1t$. Затем он продолжит бег с той же скоростью до тех пор, пока не пробежит еще один круг, то есть до тех пор, пока не пробежит дистанцию $d$. Таким образом, Вася пробежит в общей сложности расстояние $d + v_1t$.

Поскольку Вася пробежал полный круг за время $t$, его скорость равна $\frac{d}{t}$. Из первого уравнения следует, что $v_2=\frac{d}{t}-v_1$.

Тогда можно записать уравнение на скорость Васи: $v_1=\frac{d}{t}-v_2=\frac{d}{t}-\frac{d}{t}+v_1=\frac{d+v_1t}{t}.$

Отсюда следует, что $v_1t=d+v_1t$, то есть $d=v_1t$. Подставляя это в уравнение для $v_2$, получаем $v_2=0$. То есть скорость Пети равна нулю, что означает, что Вася бежал в два раза быстрее, чем Петя. Ответ: $2$.