Question

Докажите, что значения выражения (2a+5b)² + (2a-5b)²-2(2a+5b)(5b-2a)-(2a-5)(8a+3)-2(17a+15) не зависит от переменных. 35 баллов!!

Answer 1

Решение
(2a+5b)² + (2a-5b)²-2(2a+5b)(5b-2a)-(2a-5)(8a+3)-2(17a+15) = 
=  (2a+5b)² + (2a-5b)² + 2(2a+5b)(2a - 5b) - (2a-5)(8a+3) - 2(17a+15) =
= (2a + 5b + 2a - 5b)² - (16a²  + 6a - 40a - 15) - 34a - 30 =
= (4a)² - 16a² - 6a + 40a + 15 - 34a - 30 =
 (16a² - 16a²) +  (34a - 34a)  +  (15 - 30) = 0 + 0 - 15 = - 15
значение выражения  не зависит от переменных.

Answer 2

Для доказательства того, что данное выражение не зависит от переменных, нужно упростить его и показать, что полученное выражение не содержит переменных.

Раскроем квадраты и упростим:

(2a+5b)² + (2a-5b)²-2(2a+5b)(5b-2a)-(2a-5)(8a+3)-2(17a+15) =

= 4a² + 20ab + 25b² + 4a² - 20ab + 25b² - 4(2a+5b)(5b-2a) - 16a² - 19a + 25 - 34a - 30 =

= 8a² + 50b² - 8(10b² - 4ab - 10ab + 4a²) - 50a - 5 =

= 8a² + 50b² - 80b² + 32ab + 80ab - 32a² - 50a - 5 =

= -24a² + 130ab - 30 =

= -2(12a² - 65ab + 15)

Как видно, полученное выражение не содержит переменных и может быть упрощено до постоянного числа -60. Это означает, что исходное выражение не зависит от значений переменных.

Таким образом, мы доказали, что данное выражение не зависит от переменных.