Question

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы – всегда лгут. По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: "Все, кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Answer 1

Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед — лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: 2 рыцаря. 

Answer 2

Предположим, что на столе сидят $r$ рыцарей и $l$ лжецов. Тогда у каждого из них есть два соседа, их лжецы, потому что рыцари всегда говорят правду. Следовательно, каждый из них говорит правду, если и только если его два соседа лгут. Это может быть только в том случае, если $l = 2r$.

Теперь обратим внимание на выражение "все, кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Это означает, что всякий раз, когда кто-то говорит правду, это должно быть логически согласовано с тем, что и его два соседа лгут. Таким образом, если мы начнем с одного человека и будем двигаться по кругу, то каждый человек должен говорить правду только в том случае, если его два соседа лгут.

Рассмотрим два случая: $l=4$ и $l=8$.

Если $l=4$, то $r=2$, потому что $l=2r$. Предположим, что первый человек, с которого мы начинаем, говорит правду. Тогда его два соседа лгут, что означает, что следующий человек говорит правду. Но это противоречит тому, что каждый человек говорит правду только в том случае, если его два соседа лгут. Следовательно, первый человек лжет, и его два соседа говорят правду. Но тогда следующий человек лжет, что приводит к противоречию. Таким образом, для $l=4$ нет решения.

Если $l=8$, то $r=4$, потому что $l=2r$. Рассмотрим следующую схему:

L R L R L R L R L R L R

Здесь "L" обозначает лжеца, а "R" - рыцаря. Легко проверить, что каждый человек говорит правду только в том случае, если его два соседа лгут. Следовательно, решением является $4$ рыцаря и $8$ лжецов.