Question

Найти точки экстремума функции: F(x)=x^3/3+x^2/2-2x-1/3

Answer 1

f'(x)=3x^2/3+2x/2-2=x^2+x-2  x^2+x-2=0 x1=-2  x2=1

f''(x)=2x+1 f''(-2)=-3<0 f(-2)=3-max

f''(1)=3>0 f(1)=-3/2-min

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти ее производную и найти значения аргументов, при которых производная равна нулю. Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус (или наоборот), будут точками экстремума.

Итак, найдем производную функции:

F'(x) = x^2 + x - 2

Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

Корни этого уравнения можно найти, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 9

x1,2 = (-b ± sqrt(D)) / 2a = (-1 ± 3) / 2 = -1, 2

Таким образом, точки экстремума функции находятся при x = -1 и x = 2. Чтобы определить, является ли каждая из этих точек точкой максимума или минимума, необходимо проанализировать знак производной в окрестности каждой точки.

В точке x = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, что означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

В точке x = 2 производная меняет знак с плюса на минус, что означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

Таким образом, точки экстремума функции F(x) равны x = -1 и x = 2, и они соответствуют локальному минимуму и локальному максимуму соответственно.