Question

Координаты точек А(2,3,1) В(4,1,-2) С(6,3,7) Д(-5,-4,8) найти ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ВСД P.S. площадь равна половине модуля векторного произведения векторов

Answer 1

$B(4;1;-2)\; ,\; \; C(6;3;7)\; ,\; \; D(-5;-4;8)\\\\.\; \; [\overline {BC}\times \overline {BD}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&2&9\\-9&-5&10\end{array}\right|=i\left|\begin{array}{cc}2&9\\-5&10\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}2&9\\-9&10\end{array}\right|+\\\\\\+k\left|\begin{array}{cc}2&2\\-9&-5\end{array}\right|=65i-101j+8k\\\\\\S(\Delta )=\frac{1}{2}\sqrt{65^2+101^2+8^2}=\frac{1}{2}\sqrt{14490}=\frac{3}{2}\sqrt{1610}$

Answer 2

Для вычисления площади треугольника ВСД нам необходимо вычислить векторное произведение двух векторов, которые лежат на его сторонах.

Первый вектор будет иметь начало в точке В и конец в точке С. Его координаты будут равны:

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 6-4 \ 3-1 \ 7-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 9 \end{pmatrix}$

Второй вектор будет иметь начало в точке В и конец в точке Д. Его координаты будут равны:

$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -5-4 \ -4-1 \ 8-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \ -5 \ 10 \end{pmatrix}$

Теперь, чтобы вычислить векторное произведение, мы можем воспользоваться формулой:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} v_{1_y}v_{2_z}-v_{1_z}v_{2_y} \ v_{1_z}v_{2_x}-v_{1_x}v_{2_z} \ v_{1_x}v_{2_y}-v_{1_y}v_{2_x} \end{pmatrix}$

Вычисляем:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 10 - 9 \cdot 9 \ 9 \cdot (-9) - 2 \cdot 10 \ 2 \cdot (-5) - 2 \cdot (-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -88 \ -81 \ 8 \end{pmatrix}$

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ВСД, мы должны взять половину от модуля этого векторного произведения:

$S_{\Delta ВСД} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-88)^2 + (-81)^2 + 8^2} \approx 45.71$

Ответ: площадь треугольника ВСД равна примерно 45.71.