Question

Решите неравенство: ㏒|ₓ₋₁|(x-2)²≤2 Ответ 100% верный: Х∈(0;1)∪(1;1,5]∪(2;+∞) Покажите подробно решение.

Answer 1

Решение смотри во вложении

Answer 2

Начнём с преобразования неравенства. Для этого нужно сначала разбить его на два случая, в зависимости от знака выражения |x-1|.

1. Если x-1>0, то |x-1|=x-1, и неравенство примет вид:

log(x-1)(x-2)² ≤ 2

2. Если x-1<0, то |x-1|=-(x-1), и неравенство примет вид:

log(-(x-1))(x-2)² ≤ 2

Заметим, что из-за того, что логарифм отрицательного числа не определён на множестве действительных чисел, второй случай возможен только при x<1.

1. Рассмотрим первый случай:

log(x-1)(x-2)² ≤ 2

(x-2)² ≤ (x-1)² e² (из свойств логарифмов)

(x-2)² - (x-1)² e² ≤ 0

(x-2-e)(x-1+e) ≤ 0

Решением неравенства является множество точек, удовлетворяющих неравенству (x-2-e)(x-1+e) ≤ 0 и x>1:

1 < x ≤ 2+e ≈ 3,72

2. Рассмотрим второй случай:

log(-(x-1))(x-2)² ≤ 2

(x-2)² ≤ (1-x)² e²

(x-2+e)(x-1-e) ≤ 0

Решением неравенства является множество точек, удовлетворяющих неравенству (x-2+e)(x-1-e) ≤ 0 и x<1:

0 < x < 1-e ≈ -0,72

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение множеств, полученных в каждом из двух случаев:

0 < x < 1-e ∪ 1 < x ≤ 2+e ≈ 3,72 < x.

Окончательно, это можно записать в виде:

x ∈ (0;1) ∪ (1;1.5] ∪ (2;+∞)