Question

у прямокутнику ABCD бисектриса DN прямого кута D ділять протилежну сторону на відрізки CN и BN які дорівнюють 6 см і 5 см відповідно. знайдіть периметр прямокутника​. РЕШЕНИЕ!!!!!​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: решение

Answer 2

Застосуємо властивості бісектриси прямого кута: $CD = ND$ і $AD = DN$. Так як прямокутник ABCD прямий, то $AD \perp CD$ і $DN$ є бісектрисою кута $D$, тому $\angle CDN = \angle BDN = 45^{\circ}$.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику CDN маємо:

$$CN^2 = CD^2 - DN^2 = BC^2 - DN^2.$$

З іншого боку, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику BDN маємо:

$$BN^2 = BD^2 - DN^2 = AD^2 - DN^2.$$

За умовою задачі $CN = 6$ см і $BN = 5$ см, тому можна записати систему рівнянь: \begin{align*} BC^2 - DN^2 &= 36, \ AD^2 - DN^2 &= 25. \end{align*} Додавши ці рівняння, отримаємо $BC^2 + AD^2 - 2DN^2 = 61$. Але $BC = AD$, тому

$$2AD^2 - 2DN^2 = 61,$$

або ж

$$AD^2 - DN^2 = \frac{61}{2}.$$

Підставляючи це в перше рівняння системи, маємо

$$BC^2 = AD^2 + DN^2 = \frac{61}{2} + 36 = \frac{133}{2}.$$

Отже, $BC = \sqrt{\frac{133}{2}}$. Звідси периметр прямокутника ABCD дорівнює:

$$P = 2(AD + BC) = 2\left(AD + \sqrt{\frac{133}{2}}\right).$$

Залишилося знайти $AD$. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ACD маємо:

$$AD^2 = AC^2 - CD^2 = AB^2 - BC^2 - CD^2.$$

За умовою задачі $BC^2 = \frac{133}{2}$ і $CD = ND$, тому можна записати:

$$AD^2 = AB^2 - \frac{133}{2} - ND^2.$$

З іншого боку, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику BDN маємо:

$$AB^2 = BD^2 + BN^2 = AD^2 + DN^2 + BN^2.$$

Підставляючи сюди вираз