Question

Докажите тождество (формула н-го члена геометрической прогрессии методом математической индукции

Answer 1

Bn=b1*qⁿ⁻¹  докажем это.
при n=1 b1=b1*q⁰=b1
допустим верно при n   докажем что верно при n+1
bn+1=bn*q=b1*qⁿ⁻¹*q=b1*qⁿ   доказано.

Answer 2

Тождество для n-го члена геометрической прогрессии можно выразить следующим образом:

a_n = a_1 * r^(n-1),

где a_1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Для доказательства этого тождества методом математической индукции необходимо выполнить два шага: базовый и индукционный.

Шаг 1: Базовый шаг. При n=1 формула принимает вид a_1 = a_1 * r^(1-1), что верно.

Шаг 2: Индукционный шаг. Допустим, что тождество выполняется для некоторого n=k, т.е. a_k = a_1 * r^(k-1). Требуется доказать, что тождество выполняется и для n=k+1.

a_{k+1} = a_k * r = (a_1 * r^(k-1)) * r = a_1 * r^k

Таким образом, мы доказали, что если тождество выполняется для n=k, то оно выполняется и для n=k+1. Следовательно, тождество верно для всех натуральных n по принципу математической индукции.