Question

Решить неравенство х^4-4x^3+4x^2-1<=0 полное решение с объяснением, пожалуйста

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для решения данного неравенства необходимо сначала найти корни уравнения, соответствующего левой части неравенства, то есть решить уравнение:

х^4-4x^3+4x^2-1=0

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом подстановки корней. Заметим, что x=1 является корнем данного уравнения, поэтому мы можем поделить его на (x-1) и получить квадратное уравнение:

(x^4-4x^3+4x^2-1)/(x-1) = (x^3 - 3x^2 + x - 1) = 0

Решив это уравнение, получим три корня: x=1, x=2cos(2π/9) и x=2cos(4π/9).

Теперь необходимо проанализировать знак выражения х^4-4x^3+4x^2-1 на каждом из интервалов между найденными корнями. Для этого можно построить таблицу знаков, заменяя переменную x на значения из каждого из интервалов.

x	-∞	2cos(4π/9)	2cos(2π/9)	1	2cos(-2π/9)	2cos(-4π/9)	+∞
f(x)	-	+	-	-	+	-	+

Из таблицы знаков видно, что функция х^4-4x^3+4x^2-1 меньше или равна нулю на интервалах [2cos(4π/9), 1] и [2cos(-2π/9), +∞). Следовательно, решением исходного неравенства является множество всех значений x, принадлежащих этим интервалам:

2cos(4π/9) ≤ x ≤ 1 или 2cos(-2π/9) ≤ x < +∞

Таким образом, полным решением неравенства является интервал [2cos(4π/9), 1] объединенный с интервалом [2cos(-2π/9), +∞).