Question

1/(x-3)^2-3/x-3-4=0 решите уравнение ОГЭ Вариант 9 номер 21

Answer 1

$\frac{1}{(x-3)^2}- \frac{3}{x-3}-4=0$
ОДЗ:  $x-3\neq 0\\ x\ne 3$

Пусть 1/(x-3)=t, тогда получаем
$t^2-3t-4=0 \\ D=b^2-4ac=9+16=25 \\ t_1= \frac{3+5}{2} =4\\ t_2=\frac{3-5}{2} =-1$

Обратная замена

$\frac{1}{x-3} =-1 \\ 1=-x+3 \\ x=2 \\ \\ \frac{1}{x-3} =4 \\ 1=4x-12 \\ 4x=13 \\ x= \frac{13}{4}$

Answer 2

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и объединим дроби в общий знаменатель:

$\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0$

Упростим дроби и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3(x-3)}{(x-3)^2} - \frac{4(x-3)^2}{(x-3)^2} = 0$

$\frac{1 - 3(x-3) - 4(x-3)^2}{(x-3)^2} = 0$

Упростим числитель и раскроем скобки:

$1 - 3x + 9 - 4x^2 + 24x - 36 = 0$

$-4x^2 + 21x - 26 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a=-4$, $b=21$, $c=-26$:

$x_{1,2} = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2-4(-4)(-26)}}{2(-4)}$

$x_1 = \frac{3}{4}, \qquad x_2 = \frac{13}{2}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1=\frac{3}{4}$ и $x_2=\frac{13}{2}$.