Question

ПОМОГИТЕ Найдите наибольшее и наименьшее значения функции F(x)=x^2-8x/x+1 на промежутке [ -5 ;-2]

Answer 1

План действий такой: 1) ищем производную
                                      2) приравниваем её к нулю и решаем получившееся уравнение
                                      3) Смотрим: какие корни попали в указанный промежуток и ищем значения данной функции в этих точках и на концах данного отрезка;
                                       4) пишем ответ.
Поехали?
1) f'(x) = ((x² -8x)'(x+1) - (x² -8x)(x+1)')/(x+1)²=
 ((2x-8)(x+1) - (x²-8x))/(x+1)²= (2x² -8x +2x -8 - x² +8x)/(x+1)²=
=(x² +2x -8) / (х+1)²
2)(x² +2x -8) / (х+1)² ⇒  x² +2x -8 =0, ⇒ х = - 4   и   х = 2
3) Из найденных корней в указанный промежуток попало  х = -4
а) х = -4
f(-4) = (-4)² -8*(-4) /(-4+1) = 48/(-2) = -24
б) х = -5
f(-5) = (-5)² -8*(-5) /(-5+1) = 65/(-4) = -13,75
в) х = -2
f(-2) = (-2)² -8*(-2)/(-2+1) = 20/(-1) = -20
4) maxf(x) = f((-2) = -20
    minf(x) = f(-4) = -24

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции F(x) на промежутке [-5;-2], необходимо сначала найти ее производную и найти ее корни на данном промежутке. Затем, используя значения функции в найденных точках и на концах промежутка, можно найти максимальное и минимальное значение функции.

Вычислим производную функции F(x):

F'(x) = [(x+1)(2x-8) - (x^2-8x)*1]/(x+1)^2 = (2x^2 - 10x - 8)/(x+1)^2

Чтобы найти корни производной на промежутке [-5;-2], решим уравнение F'(x) = 0:

2x^2 - 10x - 8 = 0

x^2 - 5x - 4 = 0

(x - 4)(x + 1) = 0

Таким образом, корни производной F'(x) равны x1 = 4 и x2 = -1. Найдем значения функции F(x) в этих точках и на концах промежутка:

F(-5) = (-5)^2 - 8*(-5)/(-5+1) = -9

F(-2) = (-2)^2 - 8*(-2)/(-2+1) = 4

F(-1) = (-1)^2 - 8*(-1)/(-1+1) = 9

F(4) = 4^2 - 8*4/(4+1) = -8/5

Следовательно, наибольшее значение функции F(x) на промежутке [-5;-2] равно 9, и достигается оно при x = -1, а наименьшее значение функции F(x) равно -8/5 и достигается при x = 4.