Question

Докажите, что делится на 3 с остатком 1, если k - четное, и с остатком два, если не четное.

Answer 1

Рассмотрим случай четных k

доказательство методом математической индукции
(База индукции)
$k=2$: $5^2=25$
25 при делении на 3 дает остаток 1 (25=8*3+1)
Выполняется
Гипотеза индукции
пусть при k=n утверждение верно, т.е. справедливо утверждение
$5^n$ при четном n при делении на 3 дает остаток 1

Индукционный переход. n+2 - следующее последовательное четное число после числа n
Докажем что тогда $5^{n+2}$ дает остаток 1

Так как $5^{n+2}=5^n*5^2=5^n*25$
$5^n$  при делении на 3 дает остаток 1 (согласно нашей гипотезе)
25 при делении на 3 дает остаток 1 (убедились выше)
Поэтому по правилу деления произведения на число остаток будет равен остатку от деления произведения остатков множителей
так как 1*1=1, а 1 при делении на 3 дает остаток 1
то и число $5^{n+2}$ даст остаток 1
По принципу математической индукции доказано

Аналогично для нечетных доказывается для нечетных
[кратко 5 при делении на 3 дает остаток 2)
(5^{n}*5^2)
5^n - остаток 2
25 - остаток 1
2*1=2 , 2 при делении на 3 остаток 2]

Answer 2

Для любого целого числа k можно записать k в виде k = 2n или k = 2n + 1, где n - целое число.

Если k четное, то можно записать k = 2n, где n - целое число. Рассмотрим значение k^2:

k^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 3n^2 + n^2

Заметим, что первое слагаемое 3n^2 делится на 3 без остатка, так как является произведением трех и n^2, а второе слагаемое n^2 даёт остаток 1 при делении на 3 (так как это число либо 3m, либо 3m+1, либо 3m+2, и только в последнем случае получаем остаток 1 при делении на 3). Таким образом, k^2 даёт остаток 1 при делении на 3.

Если k нечетное, то можно записать k = 2n + 1, где n - целое число. Рассмотрим значение k^2:

k^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 3n^2 + 3n + n^2 + 4n + 1

Первые три слагаемых 3n^2 + 3n + n^2 делятся на 3 без остатка, так как являются произведением трех и целых чисел, а 4n даёт остаток 1 при делении на 3. Таким образом, k^2 даёт остаток 1 + 1 = 2 при делении на 3.

Таким образом, мы доказали, что если k - четное, то k^2 даёт остаток 1 при делении на 3, а если k - нечетное, то k^2 даёт остаток 2 при делении на 3.