Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = Vx, y = 2 - х. ось ох

Answer 1

Ответ: S≈1,167 кв. ед.

Объяснение:

y=√x     y=2-x     y=0     S=?

√x=0      x₁=0

2-x=0      x₂=2

√x=2-x      

x+√x-2=0

Пусть √x=t>0   ⇒

t²+t-2=0       D=9          √D=3

t₁=√x=1       (√x)²=1²        x₃=1

t₂=√x=-2 ∉    ⇒

S₁=₀∫¹(√x)dx=((2/3)*x³/²) ₀|¹=(2/3)*1³/²-0=2/3.

S₂=₁∫²(2-x)dx=(2x-(x²/2))  ₁|²=(2*2-(2²/2)-(2*1-(1²/2))=4-2-(2-(1/2)=2-1,5=0,5.

S=S₁+S₂=(2/3)+0,5≈0,667+0,5≈1,167.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной функциями y = Vx и y = 2 - х, необходимо найти точки пересечения этих функций и определить границы интегрирования.

y = Vx и y = 2 - х пересекаются в точке:

Vx = 2 - x

x^2 = 4 - 2x + x^2

x = 1

y = V(1) = 1

Таким образом, точка пересечения равна (1,1).

Границы интегрирования:

x ∈ [0, 1]

Теперь можно вычислить площадь фигуры:

S = ∫[0,1] (2 - x - Vx) dx

S = [2x - 1/2 x^2 - 2/3 x^(3/2)] [0,1]

S = 2 - 5/6 V(1)

S = 2 - 5/6

S = 7/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = Vx, y = 2 - х и осью ох равна 7/3.