Question

Решите уровнение ctg(3x)=9

Answer 1

$ctg3x=9\\\\3x=arcctg\, 9+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{1}{3}\cdot arcctg\, 9+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z$

Answer 2

Для решения этого уравнения, нужно преобразовать его в тригонометрический вид:

ctg(3x) = 9

tg(3x) = 1/9 (обе стороны делим на ctg(3x))

Затем можно использовать формулу:

tg(2α) = (2tgα)/(1 - tg²α)

Для этого заменим 3x на 2α:

tg(2α) = tg(3x) = 1/9

tg(α) = √((1 - cos(2α))/(1 + cos(2α))) (формула связи tg и cos)

Используем формулу двойного угла для cos(2α):

cos(2α) = cos²α - sin²α = (1 - sin²α) - sin²α = 1 - 2sin²α

Тогда:

tg(α) = √((1 - (1 - 2sin²α))/(1 + (1 - 2sin²α))) = √(2sin²α/(2 - 2sin²α)) = √(sin²α/(1 - sin²α))

Заменим sin²α на x:

tg(α) = √(x/(1 - x))

Таким образом, мы свели исходное уравнение ctg(3x) = 9 к уравнению tg(α) = √(x/(1 - x)), где x = sin²α.

Теперь решим уравнение tg(α) = √(x/(1 - x)):

tg(α) = √(x/(1 - x))

tg²α = x/(1 - x)

tg²α - x = 0

tg²α - sin²α = 0

(sinα/tanα)² - sin²α = 0

sin²α(1/tan²α - 1) = 0

sin²α/cos²α = 0 или 1/tan²α - 1 = 0

tg²α = 1 или tg²α = 1/2

Если tg²α = 1, то sinα/cosα = ±1, то есть sinα = ±cosα. Это выполняется при α = π/4 + πn/2, где n - целое число.

Если tg²α = 1/2, то sinα/cosα = ±1/√2, то есть sinα = ±cosα/√2. Это выполняется при α = π/8 + πn/4, где n - целое число.

Таким образом, решения исходного уравнения:

3x = π/4 + πn/2 или 3x = π/8 + πn/4

x = (π/4 + πn/2)/3 или x = (π/8 + πn/4)/3

Ответ: x = (π/4 + πn/2)/3 или x = (π/8 + πn/4)/3, где n - целое число.