Question

Катер прошел 10 км против течения реки, а затем 45 км по течению, затратив на весь путь 2 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 5 км/ч.

Answer 1

Решение
Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х + 5) км/ч - его скорость по течению, а (х - 5) км/ч - против течения. Время затраченное катером на путь по течению 45 / (х + 5) ч, а против течения 10 / (х - 5) ч. По условию задачи на весь путь затрачено 2 часа. Составим и решим уравнение:
45 / (х + 5) + 10 / (х - 5) = 2

45*(x - 5) + 10*(x + 5) = 2*(x - 5)*(x + 5)
(x - 5)*(x + 5) ≠ 0, x ≠ - 5; x ≠ 5

45x - 225 + 10x + 50 - 2x² + 50 = 0
2x² - 55x + 125 = 0
D = 3025 - 4*2*125 = 2025
x₁ = (55 - 45)/4
x₁ = 2,5 
x₂ = (55 + 45)/4
x₂ = 25
Проверим корни:
х - 5 = 2, 5 - 5 = - 2, 5 скорость катера не может быть отрицательным числом. Поэтому 25 км/ч - собственная скорость катера.
Ответ: 25 км/ч.

Answer 2

Пусть $v$ — собственная скорость катера в стоячей воде (без течения), тогда его скорость против течения реки будет $v-5$ км/ч, а по течению — $v+5$ км/ч.

Мы знаем, что катер прошел 10 км против течения и 45 км по течению, тратя на весь путь 2 часа. Можно записать уравнение:

$\frac{10}{v-5} + \frac{45}{v+5} = 2$

Решая это уравнение, получаем:

$\frac{10}{v-5} + \frac{45}{v+5} = 2$

$10(v+5) + 45(v-5) = 2(v-5)(v+5)$

$10v + 50 + 45v - 225 = 2(v^2 - 25)$

$2v^2 - 55v - 100 = 0$

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: $v=-5$ и $v=22.5$. Очевидно, что первый корень не подходит, так как он означает, что скорость катера в стоячей воде отрицательна. Значит, собственная скорость катера равна $v=22.5$ км/ч.