Question

Токарь должен был обработать 120 деталей к определённому сроку.Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1ч раньше срока.Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану?

Answer 1

Пусть х деталей в час должен был обрабатывать токарь по плану. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше, т.е. х+20 деталей.
Тогда токарь должен был обработать 120 деталей за $\frac{120}{x}$ часов, а обработал за $\frac{120}{x+20}$ часов, закончив работу на 1 час раньше.
Составим и решим уравнение:
$\frac{120}{x}$ - $\frac{120}{x+20}$=1 (умножим на х(х+20), чтобы избавиться от дробей)
$\frac{120x(x+20)}{x}$ - $\frac{120x(x+20)}{x+20}$=1x(x+20)
120*(х+20)-120х=х²+20х
120х+2400-120х-х²-20х=0
-х²-20х+2400=0
х²+20х-2400=0
D=b²-4ac = 20²-4*1*(-2400)=400+9600=10 000 (√10000=100)
х₁=$\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-20+100}{2} =40$
х₂= $\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-20-100}{2} =-60$ - не подходит, поскольку х <0.
ОТВЕТ: по плану токарь должен был обработать 40 деталей в час.
-------------------------
Проверка:
120:40=3 часа
120:(40+20)=120:60=2 часа
3 часа - 2 часа = 1 час - разница

Answer 2

Пусть исходное время, за которое токарь должен был обработать 120 деталей, равно $t$ часов. Тогда скорость работы токаря до применения нового резца равна $r_1 = \frac{120}{t}$ деталей в час.

После применения нового резца токарь начал обтачивать детали со скоростью $r_2 = r_1 + 20$ деталей в час. Пусть он закончил работу за $t_2$ часов. Тогда его работа составила $120$ деталей:

$r_2 t_2 = 120.$

Кроме того, мы знаем, что он закончил работу на 1 час раньше срока. Это означает, что $t_2 = t - 1$. Мы можем объединить эти два уравнения и решить их относительно $t$:

$r_2(t-1) = 120 \Rightarrow \frac{120}{t-1} = r_2 = r_1 + 20 \Rightarrow \frac{120}{t-1} = \frac{120}{t} + 20.$

Упрощая эту формулу, мы получаем уравнение вида:

$t^2 - 140t + 600 = 0.$

Решая это квадратное уравнение, мы находим два корня: $t_1 = 40$ и $t_2 = 100$. Однако мы знаем, что токарь закончил работу на 1 час раньше срока, поэтому реальный срок должен быть $t_1 + 1 = 41$ час. Таким образом, токарь должен был обработать $r_1 \cdot t_1 = \frac{120}{t_1} \cdot t_1 = 120$ деталей за 40 часов, что было его изначальным планом.