Question

Sin^2x+ 2√3sin x cos x+3 cos^2 x=0 решить уравнение

Answer 1

sin^2(x) + 2sqrt(3)sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0;

1 - sin(2x) = 0;

sin(2x) = 1;

2x = π/2 + 2πn, n element Z;

x = π/4 + πn, n element Z

Answer 2

Данное уравнение можно решить, используя замену переменной. Обозначим sin(x) = a и cos(x) = b, тогда:

sin^2(x) + 2√3sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0

a^2 + 2√3ab + 3b^2 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной a. Решим его с помощью стандартной формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

D = (2√3b)^2 - 4*3b^2 = 4b^2 - 12b^2 = -8b^2

a1 = (-2√3b - √(-8b^2)) / 2 = -√3b - i√2b a2 = (-2√3b + √(-8b^2)) / 2 = -√3b + i√2b

Заменим обратно переменные a и b:

a1 = -√3cos(x) - i√2sin(x) a2 = -√3cos(x) + i√2sin(x)

Так как a = sin(x), то мы получаем следующую систему уравнений:

sin(x) = -√3cos(x) - i√2sin(x) sin(x) = -√3cos(x) + i√2sin(x)

Или в более компактной форме:

sin(x) + √3cos(x) + i√2sin(x) = 0 sin(x) + √3cos(x) - i√2sin(x) = 0

Решим эту систему методом подстановки. Подставим первое уравнение во второе:

sin(x) + √3cos(x) - i√2sin(x) = 0 (√3cos(x) + i√2sin(x)) + √3cos(x) - i√2sin(x) = 0 2√3cos(x) = 0

Отсюда получаем два решения:

cos(x) = 0, тогда x = π/2 + kπ, где k - целое число.

sin(x) + √3cos(x) + i√2sin(x) = 0 (1 + i√6)sin(x) = 0, тогда sin(x) = 0, так как 1 + i√6 ≠ 0 x = kπ, где k - целое число.

Таким образом, решения уравнения sin^2(x) + 2√3sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0: x = π/2 + kπ или x = kπ, где k - целое число.