Question

Найти наибольшее значение функции f(x) = x^2-4x+4 на отрезке [0;3]

Answer 1

F(x)=x²-4x+4 ;[0;3]

D(f)=(-oo;+oo)
f'(x)=2x-4
f'(x)=0
2x-4=0
x=2

f(2)=4-8+4=0
f(0)=4
f(3)=9-12+4=1


f(max)=4

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции f(x) = x^2 - 4x + 4 на отрезке [0;3], нужно проанализировать функцию и найти ее максимальное значение.

Первым шагом можно найти экстремумы функции, то есть точки, где производная равна нулю. Для этого найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 2x - 4

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Таким образом, точка x = 2 является кандидатом на экстремум функции f(x). Теперь нам нужно проверить, является ли эта точка максимумом или минимумом.

Для этого можно проанализировать знак производной в окрестности точки x = 2. Рассмотрим значения производной для x, близких к 2:

f'(1) = 2(1) - 4 = -2 f'(3) = 2(3) - 4 = 2

Когда x < 2, производная f'(x) отрицательна, а при x > 2 она положительна. Это означает, что функция f(x) убывает до x = 2 и возрастает после него. Таким образом, точка x = 2 является локальным минимумом функции f(x) на отрезке [0;3].

Осталось проверить значения функции f(x) на концах отрезка [0;3]:

f(0) = (0)^2 - 4(0) + 4 = 4 f(3) = (3)^2 - 4(3) + 4 = 1

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = x^2 - 4x + 4 на отрезке [0;3] равно 4 и достигается при x = 0.