Question

Докажите, что число m^4 - 21m^2 + 36 является составным при любом целом m

Answer 1

Если число m - четное, то его квадрат четный (как и любая четная степень, в том числе и четвертая). Любое число умноженное на четное число - четное. Отсюда следует, что четное+четное+четное=четное число, а значит, делится на 2, значит, составное
Если число m - нечетное, то квадрат - нечетное число. Любое число умноженное на нечетное число - нечетное
нечетное+нечетное+четное=четное, значит, составное

Answer 2

Для доказательства, что число $m^4 - 21m^2 + 36$ является составным для любого целого $m$, мы можем воспользоваться методом доказательства от противного.

Предположим, что существует такое целое число $m$, для которого $m^4 - 21m^2 + 36$ является простым числом. То есть, предположим, что $m^4 - 21m^2 + 36 = p$, где $p$ - простое число.

Мы можем выразить данное уравнение в виде разности квадратов: $m^4 - 21m^2 + 36 = (m^2 - 9)(m^2 - 4)$.

Теперь мы имеем разложение исходного выражения на два множителя. Поскольку предполагается, что исходное выражение является простым числом, то один из этих множителей должен быть равен 1, а другой - самому числу $p$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Пусть $(m^2 - 9) = 1$. Тогда $m^2 = 10$, но не существует целого числа $m$, удовлетворяющего данному уравнению. Значит, этот случай невозможен.

2. Пусть $(m^2 - 4) = 1$. Тогда $m^2 = 5$, но снова не существует целого числа $m$, удовлетворяющего данному уравнению. И этот случай также невозможен.

Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях, что означает, что наше предположение неверно. Следовательно, число $m^4 - 21m^2 + 36$ является составным для любого целого $m$.