Question

Какая из показательных функций является монотонно возрастающей: 1) y=П^x 2)y=(1/√3)^x 3)y=(0,4)^x 4)y=(1/10)^x

Answer 1

1, так как показательная функция возрастает, когда основание больше 1. А П приблизительно равно 3,14.

Answer 2

Из всех четырех функций, функция №3 y=(0,4)^x является монотонно возрастающей.

Для того чтобы определить, является ли функция монотонно возрастающей, необходимо проанализировать знак ее производной.

Производная функции y=П^x равна y'=ln(П)*П^x, где ln(П) - натуральный логарифм числа П (≈0.693), а x - независимая переменная. Производная положительна только при x>0, т.е. на положительной полуоси, значит функция y=П^x монотонно возрастает на этом интервале.

Производная функции y=(1/√3)^x равна y'=ln(1/√3)(1/√3)^x, где ln(1/√3) - натуральный логарифм числа 1/√3 (≈-1.099), а x - независимая переменная. Так как (1/√3)^x является убывающей функцией на всей числовой прямой, то y'=ln(1/√3)(1/√3)^x будет отрицательной на всей числовой прямой, и функция y=(1/√3)^x монотонно убывает.

Производная функции y=(0,4)^x равна y'=ln(0,4)*(0,4)^x, где ln(0,4) - натуральный логарифм числа 0,4 (≈-0,916), а x - независимая переменная. Значит, производная отрицательна на отрицательной полуоси и положительна на положительной полуоси, т.е. функция y=(0,4)^x монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Производная функции y=(1/10)^x равна y'=ln(1/10)(1/10)^x, где ln(1/10) - натуральный логарифм числа 1/10 (≈-2,303), а x - независимая переменная. Так как (1/10)^x является убывающей функцией на всей числовой прямой, то y'=ln(1/10)(1/10)^x будет отрицательной на всей числовой прямой, и функция y=(1/10)^x монотонно убывает.