Question

РЕШИТЕ СИММЕТРИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ!!! (x+y)^2-4(x+y)=45 (x-y)^2-2(x-y)=3

Answer 1

Пусть a = x + y; b = x - y.

a² - 4a = 45
a² - 4a - 45 = 0
a² - 4a + 4 - 49 = 0
(a - 2)² - 7² = 0
(a - 2 - 7)(a - 2 + 7) = 0
(a - 9)(a + 5) = 0
a = 9 или a = -5
x + y = 9 или x + y = -5

b² - 2b = 3
b² - 2b - 3 = 0
b² - 2b + 1 - 4 = 0
(b - 1)² - 2² = 0
(b - 1 - 2)(b - 1 + 2) = 0
(b - 3)(b + 1) = 0
b = 3 или b = -1
x - y = 3 или x - y = -1

Решаем четыре системы:
1)
x + y = 9
x - y = 3

2x = 12
x + y = 9

x = 6
y = 3

2) 
x + y = 9
x - y = -1

2x = 8
x + y = 9

x = 4
y = 5

3) 
x + y = -5
x - y = 3

2x = -2
x + y = -5

x = -1
y = -4

4)
x + y = -5
x - y = -1

2x = -6
x + y = -5

x = -3
y = -2

Ответ: (-3; -2), (-1; -4),  (4; 5), (6; 3). 

Answer 2

Для решения данной системы уравнений мы можем использовать метод замены переменных. Обозначим $a = x + y$ и $b = x - y$. Тогда мы можем переписать систему уравнений следующим образом:

$$\begin{align*} a^2 - 4a &= 45 \quad (1) \\ b^2 - 2b &= 3 \quad (2) \end{align*}$$

Решим уравнение (2) сначала:

$$\begin{align*} b^2 - 2b &= 3 \\ b^2 - 2b - 3 &= 0 \\ (b - 3)(b + 1) &= 0 \end{align*}$$

Из этого следует, что $b = 3$ или $b = -1$.

Теперь решим уравнение (1) для каждого значения $b$:

1. Если $b = 3$, подставим это значение в уравнение (1):

$$\begin{align*} a^2 - 4a &= 45 \\ a^2 - 4a - 45 &= 0 \\ (a - 9)(a + 5) &= 0 \end{align*}$$

Отсюда получаем два решения: $a = 9$ или $a = -5$.

Таким образом, когда $b = 3$, у нас есть два возможных решения: $(a, b) = (9, 3)$ и $(a, b) = (-5, 3)$.

2. Если $b = -1$, подставим это значение в уравнение (1):

$$\begin{align*} a^2 - 4a &= 45 \\ a^2 - 4a - 45 &= 0 \\ (a - 9)(a + 5) &= 0 \end{align*}$$

Из этого следует два решения: $a = 9$ или $a = -5$.

Когда $b = -1$, мы также получаем два возможных решения: $(a, b) = (9, -1)$ и $(a, b) = (-5, -1)$.

Итак, у нас есть четыре возможных решения для исходной системы уравнений:

1. $x = \frac{a + b}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$, $y = \frac{a - b}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3$
2. $x = \frac{a + b}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1$, $y = \frac{a - b}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = -4$
3. $x = \frac{a + b}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$, $y = \frac{a - b}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5$
4. (x = \frac{a + b}{2}