Question

(x+3)(x+1)(x+5)(x+7)=9 - Найти сумму корней уравнения

Answer 1

$(x+3)(x+1)(x+5)(x+7)=9\\\\(x+3)(x+5)=x^2+8x+15\\\\(x+1)(x+7)=x^2+8x+7\\\\t=x^2+8x+7\; \; \to \; \; x^2+8x+15=t+8\\\\t(t+8)=9\\\\t^2+8t-9=0\\\\t_1=1,t_2=-9\; (teor.\; Vieta)\\\\a)\; x^2+8x+7=1\\\\x^2+8x+6=0$

$D=40,x_1=\frac{-8-\sqrt{40}}{2}=-4-\sqrt{10}\\\\x_2=-4+\sqrt{10}\\\\b)\; x^2+8x+7=-9\\\\x^2+8x+16=0\\\\(x+4)^2=0\\\\x=-4\\\\Otvet:\; x_1=-4-\sqrt{10},x_2=-4+\sqrt{10},x_3=-4$

Answer 2

Для начала, раскроем произведение множителей:

(x+3)(x+1)(x+5)(x+7) = (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35)

После умножения получаем:

x^4 + 16x^3 + 73x^2 + 112x + 105 = 9

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

x^4 + 16x^3 + 73x^2 + 112x + 96 = 0

Теперь можно воспользоваться теоремой Виета для нахождения суммы корней уравнения.

Если уравнение имеет вид:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Тогда сумма корней равна -b/a.

В нашем случае:

a = 1, b = 16, c = 73, d = 112, e = 96

Таким образом, сумма корней уравнения равна:

-b/a = -16/1 = -16

Ответ: сумма корней уравнения равна -16.