Question

Х2dу = у2dх, если при х = 1; у = 1.

Answer 1

Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные

$\frac{dy}{y^2}= \frac{dx}{x^2}$

Интегрируем

$\int\ { \frac{dy}{y^2} } \, = \int\ { \frac{dx}{x^2} } \, \\ \\ - \frac{1}{y}=- \frac{1}{x}+C$

при    х=1  у=1

$- \frac{1}{1}=- \frac{1}{1}+C \\ \\ C=0$

Ответ. Общее решение
 
  $- \frac{1}{y}=- \frac{1}{x}+C$

Частное решение при х=1 у=1

$- \frac{1}{y}=- \frac{1}{x}$

Answer 2

Дано уравнение: x^2dy = y^2dx

Мы также знаем, что при x = 1 и y = 1 уравнение выполняется.

Для решения данного дифференциального уравнения, можно использовать метод разделяющих переменных. Для этого давайте разделим переменные, переместив все, что содержит y на одну сторону, а все, что содержит x, на другую сторону:

dy/y^2 = dx/x^2

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫dy/y^2 = ∫dx/x^2

Интегрируя обе части, получаем:

-1/y = -1/x + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем использовать начальные условия, x = 1 и y = 1, чтобы найти значение постоянной C. Подставим значения и решим уравнение:

-1/1 = -1/1 + C -1 = -1 + C C = 0

Таким образом, постоянная C равна 0.

Теперь мы можем вернуться к уравнению:

-1/y = -1/x + 0 -1/y = -1/x

Перемножим обе части уравнения на xy:

-xy = y

Теперь мы можем выразить y:

xy + y = 0 y(x + 1) = 0

Таким образом, два возможных решения данного дифференциального уравнения:

1. y = 0
2. x + 1 = 0, что означает x = -1.

Таким образом, уравнение имеет два решения: y = 0 и x = -1.