Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = х^3 - 3х^2 + 2х + 4 в точке с абсциссой x0 = 1 Ответ: -х + 5

Answer 1

 уравнение касательной: y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
f'(x)=( x^3 - 3x^2 + 2x + 4)'=3x^2-6x+2-0= 3x^2-6x+2
f(x0)=1^3-3*1^2+2*1+4=1-3+2+4=4
f'(x0)=3*1^2-6^1+2=-1
y=4-(-1)(x-1)
y=4-(-x+1)
y=4+x-1
y=3+x

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)) нужно вычислить значение производной функции f(x) в этой точке и использовать его как коэффициент наклона касательной.

Первая производная функции f(x) равна:

f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

Тогда значение производной в точке x0 = 1 будет:

f'(1) = 31^2 - 61 + 2 = -1

Таким образом, коэффициент наклона касательной равен -1. Чтобы найти свободный член уравнения касательной, нужно использовать точку (1, f(1)) на графике функции:

f(1) = 1^3 - 31^2 + 21 + 4 = 4

Теперь мы можем записать уравнение касательной в виде y = kx + b, где k = -1 - коэффициент наклона, а b - свободный член:

y = -x + b

Чтобы найти b, подставим координаты точки (1, 4):

4 = -1*1 + b

b = 5

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 = 1 имеет вид:

y = -x + 5