Question

Найти все решения тригонометрического уравнения cos2x+sin(2)x=cosx принадлежащие отрезку (-пи;пи)

Answer 1

Сначала решаем уравнение (A)
cos2x+sin²x=cosx
2cos²x-1 + 1 - cos²x=cosx
cos²x=cosx
cos²x-cosx=0
cosx(cosx-1)=0
cosx=0
x=π/2+πk
cosx-1=0
cosx=1
x=π+2πk


Находим корни на отрезке (-π;π) (Б)
1. х=π/2+πk
k=0: x= π/2
k=1: x= 3π/2
k=-1: x= -π/2
2. x=π+2πk
k=0: x=π
k=1: x=3π
k=-1: x= -π

Ответ: А) {π/2+πk; π+2πk | k€ Z}
Б) -π/2; π/2

Answer 2

Дано тригонометрическое уравнение:

cos(2x) + sin(2x) = cos(x)

Чтобы найти все решения на интервале (-π, π), мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения уравнения.

Используем формулу двойного угла для cos(2x):

1 - 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(x)

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, заменив sin^2(x) на (1 - cos^2(x)):

1 - 2(1 - cos^2(x)) + 2sin(x)cos(x) = cos(x)

Упростим:

1 - 2 + 2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(x)

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь можем решить полученное квадратное уравнение. Проведем факторизацию:

2cos(x)(cos(x) + sin(x)) - (cos(x) + 1) = 0

(cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

cos(x) + 1 = 0 или 2cos(x) - 1 = 0

Для первого уравнения:

cos(x) = -1

Решение на интервале (-π, π): x = π

Для второго уравнения:

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

Решения на интервале (-π, π): x = π/3, x = -π/3

Таким образом, все решения тригонометрического уравнения cos(2x) + sin(2x) = cos(x), принадлежащие интервалу (-π, π), равны x = π, x = π/3 и x = -π/3.