Question

Решите неравенство:  9^x - 2*6^x - 3*4^x <=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного неравенства заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$, $6^x = 2^{x+1}3^x$ и $4^x = 2^{2x}$.

Тогда неравенство можно переписать в виде:

$3^{2x} - 2\cdot2^{x+1}3^x - 3\cdot2^{2x} \leq 0$

Далее, заменяем $3^x$ на $t$, тогда неравенство можно переписать в виде:

$t^2 - 2\cdot2^{x+1}t - 3\cdot2^{2x} \leq 0$

Решим это квадратное неравенство относительно $t$:

$t_{1,2} = 2^{x+1} \pm \sqrt{2^{2x+2} + 3\cdot2^{2x}}$

Так как $2^{2x+2} + 3\cdot2^{2x} = 4\cdot2^{2x} + 3\cdot2^{2x} = 7\cdot2^{2x}$, то

$t_{1,2} = 2^{x+1} \pm \sqrt{7}\cdot2^x$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x < 0$: в этом случае $2^{x+1} < 2^0 = 1$, а также $\sqrt{7}\cdot2^x > 0$. Значит, $t_1 < 0$ и $t_2 > 0$, и неравенство $t^2 - 2\cdot2^{x+1}t - 3\cdot2^{2x} \leq 0$ не может быть выполнено.

2. $x \geq 0$: в этом случае $2^{x+1} \geq 2^0 = 1$, а также $\sqrt{7}\cdot2^x \geq 0$. Значит, если $t_1 \leq 0$, то неравенство $t^2 - 2\cdot2^{x+1}t - 3\cdot2^{2x} \leq 0$ выполнено. Решим неравенство $t_1 \leq 0$:

$2^{x+1} - \sqrt{7}\cdot2^x \leq 0$

$2^x(2 - \sqrt{7}) \leq 0$

Откуда получаем, что $x \leq \log_2(2-\sqrt{7})$.

Таким образом, решением исходного неравенства является множество всех неотрицательных $x$, таких что $x \leq \log_2(2-\sqrt{7})$. То есть:

$0 \leq x \leq \log_2(2-\sqrt{7})$