Question

Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.

Answer 1

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов  ± P1  ± P2  ± P3   с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x2  нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения 
|P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x )|  содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическим подходом.

Рассмотрим графики квадратных трехчленов P1(x), P2(x) и P3(x) на координатной плоскости. Каждый из них представляет собой параболу, которая может быть направленной вверх или вниз.

Обозначим через A, B и C вершины этих парабол, соответственно. Также обозначим через D точки пересечения графиков P1(x) и P2(x) с осями координат, через E – точки пересечения графиков P2(x) и P3(x), и через F – точки пересечения графиков P1(x) и P3(x).

Теперь рассмотрим все возможные варианты расположения вершин A, B и C относительно осей координат и соединяющих их прямых. Изучим каждый случай отдельно:

1. Вершины A, B и C лежат на одной прямой. В этом случае уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| не имеет решений, так как P1(x) + P2(x) не может быть равно P3(x).

2. Вершины A, B и C расположены так, что парабола P1(x) пересекает ось x в двух точках, а параболы P2(x) и P3(x) – в одной точке каждая. В этом случае графики P1(x) и P2(x) пересекаются в точке D, а графики P2(x) и P3(x) – в точке E. Решения уравнения |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| могут быть только на отрезках AD, DE и EC, где на отрезке DE значение |P1(x)| равно |P2(x)|. В каждой из трех областей может быть не более двух решений, следовательно, всего решений не более шести.

3. Вершины A, B и C расположены так, что параболы P1(x) и P2(x) пересекают ось x в одной точке каждая, а парабола P3(x) – в двух точках. Этот случай аналогичен предыдущему, решения могут быть только на отрезках AD, DE и EC, где на отрезке DE значение |P1(x)| равно |P2(x)|. Также возможно не более шести решений.

4. Вершины A, B и C расположены так, что п